2d可分離小波變換原理

1、2D可分離小波變換原理,將一維離散小波變換推廣到二維，只考慮二維可分離小波，即尺度函數(shù)是可分離的：,二維離散小波分解的過程如下：　　從一幅N×N的圖像f1(x，y)開始，其中上標(biāo)指示尺度N是2的冪。對于j＝0，2j＝20＝1尺度，也就是原圖像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率減半。,在變換的每一層次，圖像都被分解為四個1/4大小的圖像，它們都是由原圖與一個小波基圖像作內(nèi)積后，再經(jīng)過在行和列方向進(jìn)行下2采樣而生成

2、的。對于第一個層次(j＝1)，可寫成　　計算時用卷積（濾波器）實(shí)現(xiàn)，后續(xù)的層次(j>1)，依次類推。形成如下圖所示的形式。,2D變換示意圖,2D小波變換的矩陣實(shí)現(xiàn)圖像A及其圖像矩陣,64 2 34 61 60 6 7 57 20 5 57 11 13 51 6 16 17 47 46

3、 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 30 39 25 41 23 22 44 45 9 18 48 49 63 14 52 53 11 10

4、 56 8 5 9 34 23 62 63 1,M1:構(gòu)造的haar 變換矩陣（8x8）,可對圖象（8x8）進(jìn)行一級分解和重構(gòu)；第2個未規(guī)范化,0.7071 0 0 0 0.7071 0 0 0 0.7071 0 0 0

5、 -0.7071 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0.7071 0 0 0 0.7071 0 0 0 -0.7071 0 0 0

6、0 0.7071 0 0 0 0.7071 0 0 0 0.7071 0 0 0 -0.7071 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0.7

7、071 0 0 0 0.7071 0 0 0 -0.7071,0.5000 0 0 0 0.5000 0 0 0 0.5000 0 0 0 -0.5000

8、 0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0.5000 0 0 0 0.5000 0 0 0 -0.5000 0 0 0 0 0.5000

9、 0 0 0 0.5000 0 0 0 0.5000 0 0 0 -0.5000 0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0.5000 0

10、 0 0 0.5000 0 0 0 -0.5000,M2:構(gòu)造的haar 變換矩陣（4x4）,可對圖象（4x4）進(jìn)行一級分解和重構(gòu)； M3:構(gòu)造的haar 變換矩陣（2x2）,可對圖象（2x2）進(jìn)行一級分解和重構(gòu)。,0.7071 0 0.7071 0 0.7071 0 -0.

11、7071 0 0 0.7071 0 0.7071 0 0.7071 0 -0.7071,0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071,一級分解：第一次逐行分解 A × M1=AR1 第一次逐列分解M1’ ×AR1=AC1,46.6690

12、67.1751 46.6690 45.2548 43.8406 -19.0919 38.1838 -35.3553 17.6777 48.0833 45.2548 15.5563 10.6066 32.5269 -26.8701 -7.0711 45.2548 46.6690 45.2548 46.6690 -21.2132 18.3848 -15.5563

13、 12.7279 46.6690 45.2548 46.6690 45.2548 9.8995 -7.0711 4.2426 -1.4142 46.6690 45.2548 41.0122 45.2548 -1.4142 4.2426 -1.4142 9.8995 45.2548 46.6690 38.1838 46.6690 12.72

14、79 -15.5563 25.4558 -21.2132 79.1960 46.6690 45.2548 46.6690 -9.8995 -26.8701 29.6985 -32.5269 9.1924 30.4056 60.1041 45.2548 2.1213 -17.6777 -27.5772 43.8406,45.5000 81.5000 65.00

15、00 43.0000 38.5000 9.5000 8.0000 -30.000065.0000 65.0000 65.0000 65.0000 -8.0000 8.0000 -8.0000 8.000065.0000 65.0000 56.0000 65.0000 8.0000 -8.0000 17.0000 -8.000062.5000

16、 54.5000 74.5000 65.0000 -5.5000 -31.5000 1.5000 8.000020.5000 13.5000 1.0000 21.0000 23.5000 -36.5000 46.0000 -20.0000-1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -22.0000 18.0000 -1

17、4.0000 10.00001.0000 -1.0000 2.0000 -1.0000 -10.0000 14.0000 -19.0000 22.000049.5000 11.5000 -10.5000 1.0000 -8.5000 -6.5000 40.5000 -54.0000,二級分解：第二次逐行分解 AR2=AC1(1:4,1:4)*M2

18、 第二次逐列分解AC2=M2'*AR2 對AC1的前4行4列,89.8026 76.3675 -25.4558 15.5563 91.9239 91.9239 0 0 91.9239 85.5599 0 -6.3640 82.7315 98.6414

19、 5.6569 6.7175,128.5000 119.0000 -18.0000 11.0000 123.5000 130.2500 4.0000 0.2500 -1.5000 -11.0000 -18.0000 11.0000 6.5000 -9.2500 -4.0000 -9.2500,三級分解：第三次逐行分解 AR3=AC2(1

20、:2,1:2)*M3 第三次逐列分解 AC3=M3'*AR3 對AC2的前2行2列,175.0089 6.7175179.4283 -4.7730,250.6250 1.3750 -3.1250 8.1250,將分解結(jié)果數(shù)據(jù)與MATLAB中wavedec2(A,3,’Haar’)產(chǎn)生數(shù)據(jù)對比如下，高低頻系數(shù)相符，只是位

21、置不同，和命令格式有關(guān)，說明用小波矩陣對圖象的變換和MATLAB中原理完全一致。,250.6250 1.3750 -18.0000 11.0000 38.5000 9.5000 8.0000 -30.0000 -3.1250 8.1250 4.0000 0.2500 -8.0000 8.0000 -8.0000 8.0000 -1.5000

22、 -11.0000 -18.0000 11.0000 8.0000 -8.0000 17.0000 -8.0000 6.5000 -9.2500 -4.0000 -9.2500 -5.5000 -31.5000 1.5000 8.0000 20.5000 13.5000 1.0000 21.0000 23.5000 -36.500

23、0 46.0000 -20.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -22.0000 18.0000 -14.0000 10.0000 1.0000 -1.0000 2.0000 -1.0000 -10.0000 14.0000 -19.0000 22.0000 49.5000 11.5000 -10

24、.5000 1.0000 -8.5000 -6.5000 40.5000 -54.0000,Columns 1 through 64 250.6250 -3.1250 1.3750 8.1250 -1.5000 6.5000 -11.0000 -9.2500 -18.0000 4.0000 11.0000 0.2500 -18.0000

25、-4.0000 11.0000 -9.2500 20.5000 -1.0000 1.0000 49.5000 13.5000 1.0000 -1.0000 11.5000 1.0000 -1.0000 2.0000 -10.5000 21.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 38.5000 -8.0000

26、 8.0000 -5.5000 9.5000 8.0000 -8.0000 -31.5000 8.0000 -8.0000 17.0000 1.5000 -30.0000 8.0000 -8.0000 8.0000 23.5000 -22.0000 -10.0000 -8.5000 -36.5000 18.0000 14.000

27、0 -6.5000 46.0000 -14.0000 -19.0000 40.5000 -20.0000 10.0000 22.0000 -54.0000,采用以下代碼可以恢復(fù)（重構(gòu)）A：,AR3=M3*AC3; %M3是規(guī)范的M3’*M3=EA3=AR3*M3'; AC2(1:2,1:2)=A3; %重構(gòu)的A3就是AC2的低頻近似系數(shù)AR2=M2*AC2; A2=AR2*M2';

28、AC1(1:4,1:4)=A2; %重構(gòu)的A2就是A1=A的低頻近似系數(shù)AR1=M1*AC1; A1=AR1*M1';,構(gòu)造DB2小波變換矩陣,[P0 P1 P2 P3]=[0.6830 1.1830 0.3170 -0.1830]輸入信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]S的長度為偶數(shù)8，對S作（對稱）延拓，左右各延拓2個單位得到信號；若S為

29、奇數(shù)長，作（對稱）延拓（延拓5位，左2右3）（想想為什么？規(guī)律呢？）S1=[6 3 3 6 8 9 5 6 -1 -2 -2 -1]；,構(gòu)造小波變換分解矩陣M1如下：M = 0.6830 0 0 0 0 1.1830 0

30、 0 0 0 0.3170 0.6830 0 0 0 -0.1830 1.1830 0 0 0 0 0.3170 0.6830 0 0 0 -0.1830 1

31、.1830 0 0 0 0 0.3170 0.6830 0 0 0 -0.1830 1.1830 0 0 0 0 0.3170 0.6830 0

32、 0 0 -0.1830 1.1830 0 0 0 0 0.3170 0 0 0 0 -0.1830,,S1*M/sqrt(2)得一級低頻系數(shù)S11： 5.3033

33、7.0965 11.7366 7.4686 -2.4749對比命令wavedec(S,1,‘Db2’)得： 5.3033 7.0965 11.7366 7.4686 -2.4749 -1.8371 0.6124 -1.7678 -1.8625 -0.6124前面5個數(shù)字是低頻系數(shù)，利用單尺度變換命令[ca,cd]=dwt(S,‘Db2’)可得到相同結(jié)果。,繼續(xù)將S11進(jìn)行

34、分解：,S11為奇數(shù)長，作對稱延拓（延拓5位，左2右3）得：s11=[7.0965 5.3033 5.3033 7.0965 11.7366 7.4686 -2.4749 -2.4749 7.4686 11.7366]；（長度10）構(gòu)造小波變換矩陣M2=M1(1:10,1:4)： 0.6830 0 0 0

35、 1.1830 0 0 0 0.3170 0.6830 0 0 -0.1830 1.1830 0 0 0 0.3170 0.6830 0 0 -0.1830 1.1830

36、 0 0 0 0.3170 0.6830 0 0 -0.1830 1.1830 0 0 0 0.3170 0 0 0 -0.1830,s11*M2/sqrt(

37、2)得二級低頻系數(shù)：ans = 8.1340 10.1618 11.6815 -3.1104由命令 wavedec(S,2,‘Db2’)得：ans = 8.1340 10.1618 11.6815 -3.1103 - 1.0981 3.9339 -4.0679 1.4542 -1.8371 0.6124 -1.7678 -1.8625 -0.6

38、124,延拓的目的與規(guī)律,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,,,K=0,K=7,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,K=0,K=7,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,K=0,K=7,再看信號S=[3 6 8

39、 9 5 6 -1 -2]；,K=0,K=7,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,,,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,再看信號S=[3 6 8

40、 9 5 6 -1 -2]；,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,K=0,再看信號S=[3 6 8 9 5 6 -1 -2]；,分解公式,因此Db2 延拓：偶左2右2，奇左2右3； Db3 延拓：偶左4右4，奇左4右5；其它小波變換時信號的延拓規(guī)律請自己總結(jié)。作業(yè)

41、：總結(jié)小波變換（包括2維）前信號的延拓規(guī)律及對變換后輸出信號（包括2維）的處理，要求與matlab一致，有數(shù)據(jù)驗證。,高頻系數(shù)如何得到？,由MALLAT分解算法：延拓方法同前，只需將小波變換矩陣M1和M2補(bǔ)齊列向量。重構(gòu)矩陣構(gòu)造原理相同，不過注意應(yīng)先進(jìn)行上采樣。以上依據(jù)的分解重構(gòu)公式見《小波與傅立葉分析基礎(chǔ)》,Fast DWT for images,Fast DWT for images,Example,Example,Sub