數(shù)列分組求和法

1、分組求和法典題導入[例1](2011山東高考)等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bn＝an＋(－1)nlnan，求數(shù)列bn的前2n項和S2n.[自主解答](1)當a1＝3時，不合題意；當a1＝2時，當且僅當a2＝6，a3＝18時，符合題意；當a

2、1＝10時，不合題意因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝23n－1.(2)因為bn＝an＋(－1)nlnan＝23n－1＋(－1)nln(23n－1)＝23n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln3＝2＋nln3＝32n＋nln3－1.

3、1－32n1－3由題悟法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an＝Err!Err!的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和以題試法1(2013威海模擬)已知數(shù)列xn的首項x1＝3，通項xn＝2np＋nq(n∈N，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項和Sn的公式(1)求an

4、的通項公式；(2)設(shè)bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an＋bn的前n項和Sn.解析(1)設(shè)q為等比數(shù)列an的公比，則由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以an的通項為an＝22n－1＝2n(n∈N)(2)Sn＝＋n1＋2＝2n＋1＋n2－2.2?1－2n?1－2n?n－1?25.求和Sn＝1＋＋＋…＋.(1＋12)(1＋12＋14)(1＋12＋14＋…＋

5、12n－1)解和式中第k項為ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.121412k－11－(12)k1－12(1－12k)∴Sn＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n)]＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)]?n個1212212n＝2＝＋2n－2.(n－12(1－12n)1－12)12n－16.數(shù)列an的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N)，則S100＝________.答案2600解析由an＋2

6、－an＝1＋(－1)n知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，數(shù)列a2k是等差數(shù)列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2600.?100＋2?5027.求和：(1)Sn＝＋＋＋＋…＋；32942586516n2n＋12n(2)Sn＝2＋2＋…＋2.(x＋1x)(x2＋1x2)(xn