數(shù)列中an與sn的關(guān)系

1、課題 課題 淺談數(shù)列中 淺談數(shù)列中 an與 Sn的遞推公式的應(yīng)用 的遞推公式的應(yīng)用對于任意一個(gè)數(shù)列，當(dāng)定義數(shù)列的前 n 項(xiàng)和通常用 Sn表示時(shí)，記作 Sn＝a1＋a2＋…＋an，此時(shí)通項(xiàng)公式 an＝．而對于不同的題目中的 an 與 Sn 的遞推關(guān)系，在解題時(shí)又應(yīng)該從哪些方向去靈活應(yīng)用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解決不同類型的問題呢？我們將從下面三個(gè)角度去探索在各類考試中出現(xiàn)的 an與 Sn相關(guān)的問題：歸納起來常見的角度有：角度一：

2、直觀運(yùn)用已知的 Sn，求 an；角度二：客觀運(yùn)用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求與 an，Sn有關(guān)的結(jié)論；角度三：an與 Sn的延伸應(yīng)用．角度一： 角度一：直觀 直觀運(yùn)用已知 已知的 Sn，求 an方法： 方法：已知 已知 Sn求 an的三個(gè)步驟 的三個(gè)步驟(此時(shí) 此時(shí) Sn為關(guān)于 為關(guān)于 n 的代數(shù)式 的代數(shù)式)：(1)先利用 a1＝S1求出 a1；(2)用 n－1 替換 Sn中的 n 得到一個(gè)新的關(guān)系，利用 an＝Sn－Sn－1

3、(n≥2)便可求出當(dāng) n≥2 時(shí) an的表達(dá)式；(3)對 n＝1 時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合 n≥2 時(shí) an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分 如果不符合，則應(yīng)該分 n＝1 與 n≥2 兩段來寫． 兩段來寫．同時(shí)，在部分題目中需要深刻理解“數(shù)列的前 n 項(xiàng)和”的實(shí)際意義，對“和的式子”有本質(zhì)的認(rèn)識，這樣才能更好的運(yùn)用 Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中 a1＋2a2＋3a

4、3＋…＋nan表示數(shù)列{nan}的前 n 項(xiàng)和．1．已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝【解析】當(dāng) n≥2 時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3．當(dāng) n＝1 時(shí)，a1＝S1＝1，不滿足上式．【答案】C2．(2015·河北石家莊一中月考)數(shù)列{a

5、n}滿足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1) ·3n+1＋3(n∈N*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 an＝ ．【解析】當(dāng) n≥2 時(shí)，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2) ·3n＋3；則用已知等式減去上式得(2n－1)·an＝(2n－1)·3n，得 an＝3n；當(dāng) n＝1 時(shí)，a1＝3，滿足上式；故 an＝3n．【答案】an

6、＝3n3．(2015·天津一中月考)已知{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足 log2(Sn＋1)＝n＋1，則 an＝ ．【解析】 由已知得 Sn＋1＝2n＋1，則 Sn＝2n＋1－1；當(dāng) n≥2 時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n；當(dāng) n＝1∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為 a1＝1，公比為 q＝－3 的等比數(shù)列，∴an＝(－3)n－1．(2)由(1)可得 bn＝n·(－3)n－1，Tn

7、＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n－1)·(－3)n－2＋n·(－3)n－1，－3Tn＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n－2)·(－3)n－2＋(n－1)·(－3)n－1＋n(－3)n，∴4Tn＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n·(－3)n，所以，Tn＝．方向二： 方向二：若所求問題是與

8、Sn相關(guān)的結(jié)論，那么用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有項(xiàng)數(shù) an，保留 Sn與Sn－1，在進(jìn)行整理求解．1．已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn且滿足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求 an的表達(dá)式．【解】(1)證明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又 an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0．因此－＝2(n≥2)

9、．故由等差數(shù)列的定義知是以＝＝2 為首項(xiàng)，2 為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即 Sn＝．當(dāng) n≥2 時(shí)，an＝－2Sn·Sn－1＝－，又∵a1＝，不適合上式．∴an＝2．(2015·江西名校聯(lián)盟調(diào)考)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a2－2Snan＋1＝0．(1)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式；(2)求證：＋＋…＋＞2(Sn+1－1)．(提示：＞)【

10、解】(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，由 a2－2Snan＋1＝0，得(Sn－Sn－1)2－2Sn(Sn－Sn－1)＋1＝0，整理得 S2－S2＝1．當(dāng) n＝1 時(shí)，a2－2S1a1＋1＝0，且 a1＞0，解得 a1＝1，故由等差數(shù)列的定義知{S2}是以 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列．∴S2＝n，則 Sn＝．(2)由(1)知＝＝＞＝2(－)，∴＋＋…＋＞2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)即＋＋…＋＞2(Sn＋1－1