導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件15

1、1．7　定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用,利用定積分的思想方法解決一些簡(jiǎn)單曲邊圖形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力作功等問(wèn)題．,本節(jié)重點(diǎn)：應(yīng)用定積分的思想方法，解決一些簡(jiǎn)單的諸如求曲邊梯形面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力作功等實(shí)際問(wèn)題．本節(jié)難點(diǎn)：把實(shí)際問(wèn)題抽象為定積分的數(shù)學(xué)模型．,1．利用定積分求平面圖形的面積的步驟(1)畫(huà)出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出曲線或直線的大致圖象．(2)借助圖形確定出被積函數(shù)．(3)確定積分的 ，需要求出交點(diǎn)的坐

2、標(biāo)．(4)把所求轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問(wèn)題．,上、下限,圖形的面積問(wèn)題,,,,,[例1]　如圖，求曲線y＝x2與直線y＝2x所圍圖形的面積S.[分析]　從圖形上可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求出面積．為了確定出積分的上、下限，我們需要求出直線和拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．,[點(diǎn)評(píng)]　求平面圖形的面積的一般步驟：(1)畫(huà)圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；(2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的

3、范圍，從而確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值之和．關(guān)鍵環(huán)節(jié)：①認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；②確定被積函數(shù)和積分上、下限．知識(shí)小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：,解法2：若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y.因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．,[點(diǎn)評(píng)]　由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下

4、方的函數(shù)有所變化，通過(guò)解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化區(qū)段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限．,[例3]　有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t時(shí)的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求(1)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t＝6時(shí)，求點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)的路程和位移；(2)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后又

5、返回原點(diǎn)時(shí)的t值．,[解析]　(1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，即當(dāng)0≤t≤4時(shí)，P點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t>4時(shí)，P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．故t＝6時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)的路程,[點(diǎn)評(píng)]　路程是位移的絕對(duì)值之和，從時(shí)刻t＝a到時(shí)刻t＝b所經(jīng)過(guò)的路程s和位移s′情況如下：,[例4]　一物體按規(guī)律x＝bt3做直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)阻力與速度的平方成正比，試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)，阻力所做的功．,[點(diǎn)

6、評(píng)]　本題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是在計(jì)算所做的功時(shí)，誤將W阻＝∫t10F阻ds寫(xiě)為∫t10F阻dt.,[答案]　C[解析]　∵y＝x3與y＝x為奇函數(shù)且x≥0時(shí)，交于(0,0)和(1,1)．,2．已知自由落體的速率v＝gt，則落體從t＝0到t＝t0所走的路程為(　　)[答案]　C,3．如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，所耗費(fèi)的功為(　　)A．0.18J　 　B．0.26J　 　C．0.12J