導數(shù)及其應(yīng)用課件1

1、2．導數(shù)的意義(1)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．(2)物理意義：函數(shù)s＝s(t)在點t處的導數(shù)s′(t)，就是當物體的運動方程為s＝s(t)時，運動物體在時刻t時的瞬時速度v，即v＝s′(t)．而函數(shù)v＝v(t)在t處的導數(shù)v′(t)，就是運動物體在時刻t時的瞬時加速度a，即a＝v′(t)．,3．利用導數(shù)的幾何意義求切線方程

2、利用導數(shù)的幾何意義求切線方程時關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求“在某點處的切線方程”則此點一定為切點，先求導，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．

3、即求出了過點P(x0，y0)的切線方程．,[分析]　根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，欲求y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率，即求f′(1)，即可得所求斜率．,[例2]　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直線m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在實數(shù)k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

4、[分析]　直線y＝kx＋9過定點(0,9)，可先求出過點(0,9)與y＝g(x)相切的直線方程，再考查所求直線是否也是曲線y＝f(x)的切線．,當x＝0時，f(0)＝－11，此時切線方程為y＝12x－11；當x＝1時，f(1)＝2，此時切線方程為y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切線．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，或x＝2.當x＝－1時，f(－1)＝－18，此時切線方程為y＝－18；當

5、x＝2時，f(2)＝9，此時切線方程為y＝9.所以y＝9是公切線．綜上所述，當k＝0時，y＝9是兩曲線的公切線.,1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是導數(shù)的主要應(yīng)用之一，其步驟為：(1)求導數(shù)f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)確定并指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間．特別要注意寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“∪”連接．,2．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)的導數(shù)f′

6、(x)>0總成立，則該函數(shù)在(a，b)上單調(diào)遞增；f′(x)0或f′(x)<0.,[分析]　本題考查了導數(shù)的概念、導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)與方程的關(guān)系問題．考查了學生對導數(shù)的理解運算能力，運用導數(shù)分析研究函數(shù)的能力，體現(xiàn)了分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價變換思想，函數(shù)與方程的思想．,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是導數(shù)的另一主要應(yīng)用．1．應(yīng)用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f′(x)＝0的

7、根；(3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號．若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值．否則，此根不是f(x)的極值點．,2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值．特別地，①當f(x)在[a，b]上單調(diào)時，其最

8、小值、最大值在區(qū)間端點取得；②當f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．,[例4]　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在點x0處取得極小值－4，使其導函數(shù)f′(x)>0的x的取值范圍為(1,3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的極大值；(2)當x∈[2,3]時，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2

9、)x的最大值．,[解析]　(1)由題意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a0，f(x)是增函數(shù)，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)．因此f(x)在x0＝1處取極小值－4，在x＝3處取得極大值．,(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.①當2≤m≤3時，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；②當

10、m<2時，g(x)在[2,3]上是遞減的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，可以有兩種方法，一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導數(shù)法，利用導數(shù)法更為簡捷．在解決問題的過程中主要處理好等號的問題，因為f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是一個函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充分不必要條件，而其充要條件是：f′(x)≥0或(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒為零．利用導數(shù)法解決取

11、值范圍問題時可以有兩個基本思路：,一是將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再令參數(shù)取“＝”，看此時f(x)是否滿足題意．,[例5]　設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取得極值．(1)求a、b的值；(2)若對

12、于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍．,(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1,2)時，f′(x)0.所以當x＝1時，f(x)取極大值，f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，則當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.因為對于任

13、意的x∈[0,3]，有f(x)9.因此c的取值范圍是(－∞，－1)∪(9，＋∞).,利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值或利用求導法解決一些實際問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜的問題簡單化，因而已逐漸成為高考的又一新熱點．1．利用導數(shù)求實際問題的最大(小)值的一般方法：(1)細致分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大或最小值的變量y與自變量x，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，

14、即列出函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實際問題確定y＝f(x)的定義域．,(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有實數(shù)的解．(3)比較導函數(shù)在各個根和區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實際問題的意義確定函數(shù)的最大值或最小值．2．利用導數(shù)求實際問題的最大(小)值時，應(yīng)注意的問題：(1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個根，若能判斷函數(shù)的

15、最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．,[例6]　某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元(9≤x≤11)時，一年的銷售量為(12－x)2萬件．(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出L的最大值Q(a)．,利用定積分