高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率主線分析

1、,,課程改革永無止境，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識和探討永遠(yuǎn)在路上,湖南省高中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn),高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率主線分析 主講：肖三杏,提 綱,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀二、教材分析三、教學(xué)建議四、解題之道五、互動交流,高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率主線分析,,,,,,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀,1、基本理念（1）開展數(shù)學(xué)建模活動（2）體驗數(shù)學(xué)有用（3）統(tǒng)計概率：必備常識 (4) 與時俱進(jìn)地認(rèn)識“雙基”,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀

2、,2、課程設(shè)置義務(wù)教育階段《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》將“統(tǒng)計與概率”分三個階段學(xué)習(xí),《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》將“統(tǒng)計與概率”分必修3和（文）選修1-2或（理）選修2-3學(xué)習(xí),一、標(biāo)準(zhǔn)解讀,3、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)（主要觀點）◆在知識與技能層面上，統(tǒng)計與概率內(nèi)容屬于“了解”和“理解”水平，不要求達(dá)到“掌握”水平；◆在過程與方法層面上，統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)操作和體驗；◆在情感、態(tài)度與價值觀層面上，注重貼近生活，注重實際問題

3、的解決。,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀,◆統(tǒng)計教學(xué)必須通過案例來進(jìn)行。 ◆不應(yīng)把統(tǒng)計處理成數(shù)字運算和畫圖表，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題的需求選擇不同的方法合理地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征?！糇⒁饨y(tǒng)計結(jié)果具有隨機(jī)性和統(tǒng)計推斷有可能犯錯誤，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。◆應(yīng)盡量給學(xué)生提供一定實踐活動的機(jī)會，可結(jié)合數(shù)學(xué)建模的活動，選擇一個案例，要求學(xué)生親自實踐。,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀,3、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)（主要觀點） ◆對于統(tǒng)計中的概念和統(tǒng)計案例內(nèi)容，

4、應(yīng)結(jié)合具體問題進(jìn)行描述性說明和初步了解，對其理論基礎(chǔ)不作要求，不追求嚴(yán)格的形式化定義?！艄膭顚W(xué)生盡可能使用計算器、計算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)手段來處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行模擬活動。,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀,3、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)（主要觀點） ◆概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，體會或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法。◆古典概型的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生通過實例理解古典概型的特征：實驗結(jié)果的有限性和每一個實驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。

5、教學(xué)中不要把重點和興奮點放在“如何計算”上。,一、標(biāo)準(zhǔn)解讀,3、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)（主要觀點）◆研究一個隨機(jī)現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率，分布列正是描述了離散隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律，二項分布和超幾何分布是兩個應(yīng)用廣泛的概率模型，要求通過實例引入這兩個概率模型，不追求形式化的描述。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生能利用所學(xué)知識解決一些實際問題。,高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率，文科約34課時、25個知識點，理科約46課時、37個知識點,簡單隨

6、機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線、莖葉圖、用樣本的頻率分布估計總體分布、樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差）、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征、散點圖、兩個變量的線性相關(guān)、回歸直線、最小二乘法、回歸分析、獨立性檢驗、隨機(jī)事件、頻率、概率、概率的基本性質(zhì)（互斥事件、互為對立事件）、古典概型、（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生、幾何概型、均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生、離散型隨機(jī)變量、概率分布列、

7、兩點分布、超幾何分布、條件概率、事件的相互獨立性、獨立重復(fù)試驗、二項分布、離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）、離散型隨機(jī)變量的方差（標(biāo)準(zhǔn)差）、正態(tài)曲線（正態(tài)分布密度曲線）、正態(tài)分布。,二、教材分析(人教A版),（一）必修“統(tǒng)計”內(nèi)容分析 總體思路：通過實際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)抽樣、用樣本估計總體、線性回歸的基本方法，使他們了解用樣本估計總體及其特征的思想，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異；通過實習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收

8、集與處理的全過程，進(jìn)一步體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。,二、教材分析(人教A版),（一）必修“統(tǒng)計”內(nèi)容分析主線：從數(shù)據(jù)收集到數(shù)據(jù)分析整理。統(tǒng)計的全過程：確定統(tǒng)計問題→數(shù)據(jù)收集→數(shù)據(jù)整理→數(shù)據(jù)描述→數(shù)據(jù)特征→用樣本估計總體→解決實際問題。,二、教材分析(人教A版),（二）選修“統(tǒng)計案例”內(nèi)容分析教科書給出了兩件模型擬合效果的分析工具：殘差分析和指標(biāo)教科書從殘差分析的角度解釋了 的統(tǒng)計意義： 越大，模型的擬合效果越好教科書從殘

9、差分析和 的角度討論了模型選擇問題，引導(dǎo)學(xué)生初步體會模型診斷的思想教科書強(qiáng)調(diào)了用解釋變量（自變量）估計預(yù)報變量（因變量）時需要注意的問題，總結(jié)建立回歸模型的基本步驟,,,,,二、教材分析(人教A版),（二）選修“統(tǒng)計案例”內(nèi)容分析獨立性檢驗的基本思想和反證法類似，它們都是假設(shè)結(jié)論不成立，反證法的原理是：在否定結(jié)論的假設(shè)下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設(shè)不成立，于是結(jié)論成立；獨立性檢驗的原理是：在否定結(jié)論的假設(shè)下，如果一個與

10、該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設(shè)不可靠，于是認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的。,二、教材分析(人教A版),隨機(jī)現(xiàn)象的試驗具有以下特點：①可重復(fù)性 試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行多次，甚至進(jìn)行無數(shù)次；②可觀測性 每次試驗的所有可能結(jié)果都是明確的、可觀測的，并且試驗的可能結(jié)果有兩個或兩個以上；③隨機(jī)性 每次試驗結(jié)果是不確定的，在試驗之前無法預(yù)先確定究竟出現(xiàn)哪一個結(jié)果。,二、教材分析(人教A版),（三）必修“概率”內(nèi)容分析（

11、1）利用隨機(jī)事件的頻率給出概率的定義與性質(zhì)。（2）通過試驗?zāi)M等方法澄清日常生活中對概率的錯誤認(rèn)識。給出應(yīng)用概率解決實際問題的幾個例子，包括用概率檢驗游戲的公平性，概率在決策中的應(yīng)用，概率在天氣預(yù)報中的應(yīng)用等等。（3）給出兩個概率模型（古典概型和幾何概型）下概率的計算公式。（4）有兩種產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法，一種是由試驗產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，另一種是利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生的（偽）隨機(jī)數(shù)，通過模擬的方法估計隨機(jī)事件發(fā)生的概率。（5）通過閱讀與思

12、考等欄目加深對隨機(jī)現(xiàn)象的理解，了解人類認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象的過程是逐步深入的，了解概率這門學(xué)科在實際中有廣泛的應(yīng)用。,二、教材分析(人教A版),（四）選修“隨機(jī)變量及其分布”內(nèi)容分析（1）通過簡單的例子，介紹取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念；（2）通過具體實例，介紹超幾何分布模型及其應(yīng)用；（3）通過具體實例，介紹條件概率和兩個事件相互獨立的概念，在此基礎(chǔ)上介紹二項分布模型及其應(yīng)用；（4）通過具體實例，介紹離散型隨機(jī)變量的均值和方

13、差的含義及其計算公式，這里僅限于取有限值的離散型隨機(jī)變量，并解決一些具體問題；（5）通過高爾頓板試驗，引入正態(tài)分布密度曲線，借助圖象介紹正態(tài)分布曲線的特點及其所表示的意義。,超幾何分布與二項分布的區(qū)別和聯(lián)系① 超幾何分布定義：一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，隨機(jī)取出的n件產(chǎn)品中，次品數(shù)x服從超幾何分布， 超幾何分布滿足兩個條件：一是抽取的產(chǎn)品不再放回，二是總產(chǎn)品數(shù)量N較小。②二項分布定義：在n次獨立重復(fù)試驗中，每次試驗A發(fā)

14、生的概率均為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率， 則稱X服從二項分布，記為X~B（n,p） 二項分布也滿足兩個條件：一是有放回、獨立重復(fù)；二是恰好發(fā)生k次。③當(dāng)抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕鼗蛘呖偖a(chǎn)品數(shù)量N很大時，超幾何分布變?yōu)槎椃植?.,,,某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量，結(jié)果重量不超過500克的產(chǎn)品有28件，重量超過500克的產(chǎn)品有1

15、2件,現(xiàn)從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有3件產(chǎn)品的重量超過500克的概率。下面給出該題的兩種解法，請問哪種解法是正確的？為什么？,,,幾何分布,將二項分布中的“事件A恰好發(fā)生k次”改為“事件A恰好在第k次發(fā)生”，則 P(X=k)=(1-p)k-1 p, 稱X服從幾何分布。例如，某人有10把形狀大致相同的鑰匙，只有1把鑰匙能打開房門。他每次隨機(jī)地取出1把鑰匙開門，試開后放回，問他恰好在第4次打開房門的概率是多少？解：設(shè)X表示某人用鑰

16、匙打開房門所需要試開的次數(shù)，則X服從幾何分布。這里p=0.1， ∴P(X=4)=(1-0.1)3×0.1=0.0729.,三、教學(xué)建議,（一）通過走進(jìn)教材領(lǐng)會學(xué)習(xí)目標(biāo)（二）通過方法比較提高思維能力（三）通過問題解決突破重點難點（四）通過親身經(jīng)歷獲得數(shù)學(xué)體驗,三、教學(xué)建議,我國是世界上第13個貧水國，人均淡水占有量排列世界第109位。,（一）通過走進(jìn)教材領(lǐng)會學(xué)習(xí)目標(biāo)章頭圖章引言“走進(jìn)統(tǒng)計”,走進(jìn)統(tǒng)計,一、三

17、個主要問題：①為什么要學(xué)統(tǒng)計？②統(tǒng)計將要學(xué)習(xí)什么？③怎樣學(xué)習(xí)統(tǒng)計？二、情景引入；問題展示。三、歸納小結(jié)，搭建統(tǒng)計知識框架。,走進(jìn)統(tǒng)計,思維與知識,思維與知識，好比植物的根莖與枝葉，離開根莖，枝葉無所依托；好比動物的皮與毛，皮之不存，毛將焉附？ 相對于知識學(xué)習(xí)來說，在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)更重要、更基本、更長遠(yuǎn)。,三、教學(xué)建議,（二）通過方法比較提高思維能力甲乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0

18、.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識？ ---人教A版《高中數(shù)學(xué)選修2-3》P59B組第1題,設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X,X服從二項分布。（1）在采用3局2勝制中，事件,甲獲勝的概率為,(2)在采用5局3勝制中，事件,表示“甲獲勝”，,,.,甲獲勝的概率為,表示“甲獲勝”，,設(shè)甲在第X局勝出，則（1）在采用3局2勝制中，甲獲勝的概率為,(2) 在采用5局3

19、勝制中，甲獲勝的概率為,,,,三、教學(xué)建議,（三）通過問題解決突破重點、難點,“古典概型”教學(xué)過程設(shè)計及其意圖,1、問題驅(qū)動,問題1 概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性 大小的度量，由頻率的穩(wěn)定性，我們可以用頻率估計事件的概率。但這種方法耗時多，而且得到的僅是概率的近似值。那么滿足什么條件的隨機(jī)試驗可以直接計算事件的概率呢？請舉例說明。問題2 在擲硬幣和擲骰子的實驗中，為什么要求硬幣和骰子的質(zhì)地均勻？,1、問題驅(qū)動,問題3 在“擲一枚

20、質(zhì)地均勻的硬幣的試驗”中，結(jié)果只有兩個，即“正面朝上”或“正面朝下”，他們都是隨機(jī)事件；在“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗”中，所有可能的結(jié)果有6種，即出現(xiàn)“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”、“6點”，他們也都是隨機(jī)事件。我們把這類隨機(jī)事件稱為基本事件。請思考①一個隨機(jī)試驗中各個基本事件之間是什么關(guān)系？②一個隨機(jī)試驗中的隨機(jī)事件與基本事件是什么關(guān)系？,2、模型歸納,2、模型歸納,問題4 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗，請回答①A

21、=﹛向上的一面的點數(shù)大于3﹜是基本事件嗎？若不是基本事件，那么事件A包含哪些基本事件？②B=﹛向上的一面的點數(shù)是偶數(shù)﹜包含哪些基本事件？,2、模型歸納,基本事件真的是試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件嗎？,對于“A=﹛向上的一面的點數(shù)大于3﹜”：如果試驗有六種情況，那么事件A就不是基本事件。如果試驗只有兩種情況（比如可以想象把骰子面上顯示1，2，3點的面涂成黑色，把點數(shù)大于3點的面涂成紅色），那么事件A就是基本事件。,問題5 同時擲

22、兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的面上的點數(shù)，請回答①如何表示這個試驗的所有可能結(jié)果？②所有可能結(jié)果一共有多少個？③所有可能結(jié)果是否都等可能發(fā)生？④事件A=﹛向上的點數(shù)之和是5﹜發(fā)生的概率是多少？,2、模型歸納,,問題6 小強(qiáng)認(rèn)為既然兩個骰子是相同的，類似于（1,2）和（2,1）的結(jié)果應(yīng)該沒有區(qū)別。試驗的所有可能結(jié)果是 （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），

23、（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共21種，事件“點數(shù)之和是5”包含2個結(jié)果，所以問題5中P(A)=2/21。 你認(rèn)為小強(qiáng)的解法正確嗎？如果錯誤，錯在哪里？,2、模型歸納,問題7 單項選擇題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案?，F(xiàn)假定某考生不會做，他隨機(jī)地選

24、擇一個答案，問他答對的概率是多少？,3、思維訓(xùn)練,問題8 不定項選擇題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個或多個正確答案。如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇正確的答案。現(xiàn)假定某考生不會做，在隨機(jī)地選擇任何答案都是等可能的情況下，問他答對的概率是多少？,3、思維訓(xùn)練,問題9 設(shè)袋子中有3個紅球，2個黃球，除顏色外無其他區(qū)別，從袋子中不放回地隨機(jī)摸出兩個球，求兩個球都是紅球的概率。問題10 設(shè)袋子中有3個紅球，2個黃球，除

25、顏色外無其他區(qū)別，若從袋子中隨機(jī)摸出一個球記下顏色后放回袋子中，再隨機(jī)摸出一個球，求兩個球都是紅球的概率。,3、思維訓(xùn)練,問題11 通過前面的學(xué)習(xí)，請思考對于一個隨機(jī)試驗，如何判斷它是不是古典概型問題？如何求一個古典概型問題中事件發(fā)生的概率？,4、反思小結(jié),三、教學(xué)建議,（四）通過親身經(jīng)歷獲得數(shù)學(xué)體驗實習(xí)作業(yè)：清楚設(shè)計意圖制定活動方案組織活動交流開展成果評價,看重過程看重參與看重數(shù)據(jù)的真實性不苛求結(jié)果的準(zhǔn)確性,參與到實

26、習(xí)作業(yè)全過程,讓學(xué)生的興趣在了解探究任務(wù)中產(chǎn)生讓學(xué)生的思考在分析真實數(shù)據(jù)中形成讓學(xué)生的理解在集體討論過程中加深,靈活運用,【例】有一幢樓房共19層，現(xiàn)若選擇其中某一層作為會議室，開會時每層去1 人，則會議室設(shè)在第幾層時，可使每人所走過的路程最短（每層樓高度相同）？,分析： 大多數(shù)學(xué)生拿到該題首先想到利用等差數(shù)列的前,項和公式建立路程與,之間的關(guān)系，然后求最值，,，這樣，我們“希望”會議室所在的樓層即為隨機(jī),的分布列如下：,,,,,于

27、是，會議室設(shè)在第10層為所求。,這是一種常規(guī)的思路。如果我們換一個角度思考：會議室設(shè)在哪一層是隨機(jī)的，而設(shè)在任一層樓的概率都為,的數(shù)學(xué)期望。由題意得會議室所在的樓層,,,高中數(shù)學(xué)《題說》,…… 做之不能以其道，思之不能盡其法，錯之而不能知其意，執(zhí)筆而臨之，曰：“此題難矣！”嗚呼！其真難邪？其真不會做也。,四、解題之道,“模式識別”是解統(tǒng)計與概率問題的關(guān)鍵,,,,2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析,一：,,,,2

28、010-2014年高考湖南卷（理）試題分析,一：,,,,2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析,一：,1、若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生。 2、若A∩B為不可能事件，且A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且只有一個發(fā)生。 3、設(shè)A，B是兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與

29、事件B相互獨立，其含義是：事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率。,模式三：互斥事件和相互獨立事件的概率,“互斥”與“對立”、“互斥”與“獨立”,4、區(qū)別與聯(lián)系① 對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。② 如果事件A和事件B發(fā)生的概率都大于0，那么事件A與事件B：互斥一定不獨立，獨立一定不互斥。③ 若事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A與事件B互為對立，則P(AUB)=P(A)+P(B)=1

30、④如果事件A與事件B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B),,,,2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析,一：,,,,2010-2014年高考湖南卷（理）試題分析,一：,命題特點：從近幾年高考命題來看，統(tǒng)計與概率試題貼近生活，不偏不怪，背景新穎。 （1）以1-2道選擇題或填空題考查抽樣方法、莖葉圖、幾何概型、條件概率、回歸分析和獨立性檢驗。 （2）以一道解答題的第1小問考查直方圖、互斥事件和獨立事件的概率、古

31、典概率，第二小問考查隨機(jī)變量分布列和期望。 （3）試題難度中檔或中檔偏易，同時要注意函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、幾何等知識和統(tǒng)計與概率“交匯”。,,（1）混淆“互斥”與“對立”、“互斥”與“獨立”而致誤（2）混淆“條件概率”與“相互獨立事件的概率”而致誤（3）混淆“二項分布”與“超幾何分布”而致誤（4）忽視正態(tài)分布的圖像而致誤（5）線性回歸方程的性質(zhì)不熟練而致誤（6）不理解獨立性檢驗的思想而致誤,,（1）注

32、重培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力；（2）注重提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力；（3）注重培養(yǎng)學(xué)生處理數(shù)據(jù)能力；（4）注重提高學(xué)生準(zhǔn)確運算能力。,五、互動交流,課題一：數(shù)據(jù)1,1,1,2,2,2,3,3,3有沒有眾數(shù)？若有，是什么？課題二：把一枚硬幣拋擲100次，“出現(xiàn)50次反面”是大概率事件還是小概率事件？你有什么發(fā)現(xiàn)？課題三：有人說：“古典概型和幾何概型的區(qū)別是：前者只有有限多個結(jié)果，后者有無限多個結(jié)果；它們的相同點是：結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的。”