8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

1、第八編 立體幾何 §8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三 視圖和直觀圖要點(diǎn)梳理1.多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的上下底面 ，側(cè)棱都 且長度 ，上底面和下底面是 的多邊形. (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個 的三角形.,平行,平行,相等,全等,,公,共點(diǎn),基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),(3)棱臺可由 的平面截棱錐得

2、 到，其上下底面的兩個多邊形相似.2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞其 旋轉(zhuǎn)得到. (2)圓錐可以由直角三角形繞其 旋轉(zhuǎn)得到. (3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等 腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由 的平面截圓錐得到. (4)球可以由半圓或圓繞其 旋轉(zhuǎn)得到.,平行于棱錐底面,一邊所在直線,一條直角邊所在,,直線

3、,平行于圓錐底面,直徑,3.空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用 得到,這種投 影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平 面圖形的形狀和大小是 的,三視圖包括 、 、 .4.空間幾何體的直觀圖 畫空間幾何體的直觀圖常用 畫法，基 本步驟是： (1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸 相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時(shí),把它們畫成

4、對應(yīng)的x′ 軸、y′軸,兩軸相交于點(diǎn)O′,且使∠x′O′y′ .,正投影,完全相同,斜二測,=45°（或135°）,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀 圖中平行于 . (3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長 度保持不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)?. (4)在已知圖形中過

5、O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面， 在直觀圖中對應(yīng)的z′軸也垂直于x′O′y′平 面,已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中 仍平行于z′軸且長度 .,x′軸、y′軸,,原來,的一半,不變,5.中心投影與平行投影 (1)平行投影的投影線 ，而中心投影的 投影線 . (2)從投影的角度看，三視圖和用斜二測畫法畫 出的直觀圖都是在 投影下畫出來的圖形.,互相平行,相

6、交于一點(diǎn),平行,基礎(chǔ)自測1.一個棱柱是正四棱柱的條件是（ ） A.底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形 B.底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面 C.底面是菱形，具有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩 兩垂直 D.每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱 解析 根據(jù)正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征加以判斷.,C,2.用任意一個平面截一個幾何體,各個截面都是 圓，則這個幾何體一定是（ ） A.圓柱 B.圓錐 C.球體 D.圓柱、圓

7、錐、球體的組合體 解析 當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截 面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面 都是圓面.,C,3.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐 的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 設(shè)母線為l,底面半徑為r，則πl(wèi)=2πr.

8、 ∴母線與高的夾角為30°.∴圓錐的頂 角為60°.,C,4.三視圖如下圖的幾何體是 （ ） A.三棱錐 B.四棱錐 C.四棱臺 D.三棱臺 解析 由三視圖知該幾何體為一四棱錐，其中 有一側(cè)棱垂直于底面,底面為一直角梯形.故選B.,B,5.等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CB= ，下

9、 底AB=3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫 法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為 . 解析,題型一 幾何體的結(jié)構(gòu)、幾何體的定義 設(shè)有以下四個命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn). 其中真命題的序號是 . 利用有關(guān)幾何體的概念判斷所給命題

10、 的真假.,題型分類 深度剖析,解析 命題①符合平行六面體的定義,故命題①是正確的,底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題②是錯誤的,因直四棱柱的底面不一定是平行四邊形,故命題③是錯誤的,命題④由棱臺的定義知是正確的.答案 ①④ 解決該類題目需準(zhǔn)確理解幾何體的定義，要真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并且學(xué)會通過反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設(shè)法舉出一個反例即可.,知能遷

11、移1 下列結(jié)論正確的是（ ） A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余 兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則 此棱錐可能是六棱錐 D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線 都是母線 解析 A錯誤.如圖所示，由兩個結(jié)構(gòu) 相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何 體,各面都是三角形，但它不一定是棱錐.,B

12、錯誤.如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐.C錯誤.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長. D正確.,答案 D,題型二 幾何體的直觀圖 一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖 是一個邊長為a的正方形,則原平面四邊形的面 積等于( ) A. B.

13、 C. D. 按照直觀圖的畫法，建立適當(dāng)?shù)淖?標(biāo)系將正方形A′B′C′D′還原，并利用平面 幾何的知識求出相應(yīng)的線段、角，求解時(shí)要注 意線段和角的變化規(guī)律.,解析 根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知,在x軸上(或與x軸平行)的線段,其長度保持不變;在y軸上(或與y軸平行)的線段,其長度變?yōu)樵瓉淼囊话?且∠x′O′y′=45°(或135°),所以

14、,若設(shè)原平面圖形的面積為S,則其直觀圖的面積為 可以得出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′=本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積答案 B,對于直觀圖,除了解斜二測畫法的規(guī) 則外,還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′ 之間的關(guān)系S′= 能進(jìn)行相關(guān)問題的計(jì)算.知能遷移2 如圖所示，直觀圖四邊形

15、 A′B′C′D′是一個底角為45°， 腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面 積是 .,解析 把直觀圖還原為平面圖形得： 直角梯形ABCD中，AB=2，BC=1+ ，AD=1，,答案,題型三 幾何體的三視圖 (2009·山東，4)一空間幾何體的三視圖 如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A.

16、B. C. D.,由幾何體的三視圖，畫出幾何體的直觀圖，然后利用體積公式求解.解析 該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成，圓柱的底面半徑為1，高為2，體積為2π，四棱錐的底面邊長為 ，高為 ，所以體積為 所以該幾何體的體積為答案 C 通過三視圖間接給出幾何體的形狀,打破以往直接給出幾何體并給出相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算的傳統(tǒng)模式,使三

17、視圖與傳統(tǒng)意義上的幾何體有機(jī)結(jié)合,這也體現(xiàn)了新課標(biāo)的思想.,知能遷移3 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正 視圖與側(cè)視圖都是邊長為2的正三角形，則這個幾 何體的側(cè)面積為 （ ） A. B. C. D. 解析 由三視圖知，該幾何體為一圓錐，其中 底面直徑為2，母線長為2，S側(cè)=πrl =π×1

18、15;2=2π.,B,題型四 多面體與球 （12分）棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn) 都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面 如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面） 的面積. 截面過正四面體的兩頂點(diǎn)及球心， 則必過對邊的中點(diǎn).,解 如圖所示，△ABE為題中的三角形，,［4分］,［8分］,解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征,發(fā)揮自己的空間想象能力,把立體圖和

19、截面圖對照分析,有機(jī)結(jié)合,找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系,為了增加圖形的直觀性,常常畫一個截面圓作為襯托.,［12分］,知能遷移4 在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi),放入 一個鋼球,鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸,經(jīng) 過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面,正確的截面圖形 是( ) 解析 正三棱錐的內(nèi)切球心在高線上,與側(cè)面有 公共點(diǎn),與棱無公共點(diǎn).,B,方法與技巧1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性質(zhì)，并能 靈活應(yīng)用.

20、2.正棱錐問題常歸結(jié)到它的高、側(cè)棱、斜高、底 面正多邊形、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、底面 邊長的一半構(gòu)成的直角三角形中解決.3.圓柱、圓錐、圓臺、球應(yīng)抓住它們是旋轉(zhuǎn)體這 一特點(diǎn)，弄清旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)面、軸截面.,思想方法 感悟提高,失誤與防范1.臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截 面與底面平行.2.掌握三視圖的概念及畫法 在繪制三視圖時(shí),若相鄰兩物體的表面相交,表面 的交線是它們的分界線.在三視圖中，分

21、界線和可 見輪廓線都用實(shí)線畫出，被擋住的輪廓線畫成虛 線.并做到“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣 寬”.,3.掌握直觀圖的概念及斜二測畫法 在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段. “平行于x軸的線段平行性不變，長度不變； 平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”4.能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖； 也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖. 提升空間想象能力.,一、選擇題1.如圖是由哪個平

22、面圖形旋轉(zhuǎn)得到的 （ ） 解析 幾何體的上部為圓錐，下部為圓臺，只 有A可以旋轉(zhuǎn)得到，B得到兩個圓錐，C得到一圓 柱和一圓錐，D得到兩個圓錐和一個圓柱.,A,定時(shí)檢測,2.下列命題中，成立的是 （ ） A.各個面都是三角形的多面體一定是棱錐 B.四面體一定是三棱錐 C.棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一 定是正棱錐 D.底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)

23、棱 相等的棱錐一定是正棱錐 解析 A是錯誤的，只要將底面全等的兩個棱錐 的底面重合在一起，所得多面體的每個面都是 三角形，但這個多面體不是棱錐；,B是正確的，三個面共頂點(diǎn)，另有三邊圍成三角形 是四面體也必定是個三棱錐；C是錯誤的，如圖所示，棱錐的側(cè)面 是全等的等腰三角形，但該棱錐 不是正三棱錐；D也是錯誤的，底面多邊形既有內(nèi)切 圓又有外接圓，如果不同心，則不是正多邊形， 因此不是正棱錐.答案 B,

24、3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖 相同的是 （ ） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 解析 在各自的三視圖中①正方體的三個視圖 都相同；②圓錐的兩個視圖相同；③三棱臺的 三個視圖都不同；④正四棱錐的兩個視圖相同， 故選D.,D,4.（2008·廣東理，5）將正三棱柱截去三個角 （如圖1所示），

25、A，B，C分別是△GHI三邊的 中點(diǎn)得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示 方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）,解析 當(dāng)三棱錐沒有截去三個角時(shí)的側(cè)視圖如圖（1）所示，由此可知截去三個角后的側(cè)視圖如圖（2）所示.答案 A,5.已知△ABC的直觀圖是邊長為a的等邊△A1B1C1 (如圖)，那么原三角形的面積為 （ ） A. B. C.

26、 D.,解析 在原圖與直觀圖中有OB=O1B1，BC=B1C1.在直觀圖中，過A1作A1D1⊥B1C1，因?yàn)椤鰽1B1C1是等邊三角形，所以A1D1=在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1=45°，∴O1A1=根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知：∴△ABC的面積為答案 C,6.棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)都在 球O的表面上,E、F分別是棱AA1、DD1的中點(diǎn)，則 直

27、線EF被球O截得的線段長為 （ ） A. B.1 C. D. 解析 由題知球O半徑為 ，球心O到直線EF 的距離為 ，由垂徑定理可知直線EF被球O截 得的線段長,D,二、填空題7.用任一個平面去截正方體，下列平面圖形可能是 截面的是 . ①正方形；②長方形；③等邊三角形；④直角 三角形；⑤菱形；⑥六邊形. 解析

28、 如圖所示正方體ABCD— A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面 為正方形，截面AA1C1C為長方形， 截面AB1D1為等邊三角形,取BB1、DD1的中點(diǎn)E、 F，則截面AEC1F為菱形，取B1C1、D1C1、AB、 AD的中點(diǎn)M、N、P、Q，過這四點(diǎn)的截面為六 邊形，截面不可能為直角三角形.,①②③⑤⑥,8.下列命題中： ①用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底 面和截面之間的部分叫棱臺； ②

29、棱臺的各側(cè)棱延長后一定相交于一點(diǎn)； ③圓臺可以看做直角梯形以其垂直于底邊的腰 所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面 圍成的幾何體； ④半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球. 其中所有正確命題的序號是 . 解析 ①符合棱臺的定義；②棱臺是由棱錐被 平行于底面的平面所截而得，各側(cè)棱延長后一 定相交于一點(diǎn)；③是圓臺的另一種定義形式； ④中形成的是球面而不是球.,①②③,9.（2009

30、·天津文，12）如圖是一個幾何體的三 視圖.若它的體積是3 ，則a= . 解析 由三視圖可知，此幾何體為直三棱柱， 其底面為一邊長為2，高為a的等腰三角形.由棱 柱的體積公式得,三、解答題10.一個正方體內(nèi)接于高為40 cm，底面半徑為30 cm 的圓錐中，求正方體的棱長. 解 如圖所示，過正方體的體對角 線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱 長為x，則,11.正四棱錐的

31、高為 ，側(cè)棱長為 ，求側(cè)面上斜高 （棱錐側(cè)面三角形的高）為多少？ 解 如圖所示，正四棱錐S-ABCD中高OS= ， 側(cè)棱SA=SB=SC=SD= ， 在Rt△SOA中， OA= ∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 . 作OE⊥AB于E，則E為AB中點(diǎn). 連接SE，則SE即為斜高，則SO⊥OE. 在Rt△SOE中， ∴SE= ，即側(cè)面上