10 第十章強度理論與組合變形

1、1,10.1 應力狀態(tài),10.2 強度理論,10.3 組合變形,第十章 強度理論與組合變形,,返回主目錄,,,,2,,截面應力,危險點應力狀態(tài),強度判據(jù),概述,10.1 應力狀態(tài),,返回主目錄,,,3,組合變形：,問題： 危險點應力狀態(tài)？ 強度判據(jù)？,彎扭組合,壓彎組合,,返回主目錄,,,過一點不同方向面上應力的狀況，稱之為這一點的應力狀態(tài)（State of the Stresses of a Given

2、 Point）。,應 力,指明,應力狀態(tài),一點的應力狀態(tài)的表示方法,單元體法：圍繞一點取微小的正六 面體 ? 材料單元體,x面、y面、z面,各邊邊長,? 材料單元體上相對坐標面上的應力大小相等、方向相反。,? 材料單元體上任意方向面上的應力均勻分布。,( Three-Dimensional State of Stresses ),三向（空間）應力狀態(tài),考慮到切應力互等定理，在九個應力分量中，只有六個獨立的應

3、力分量。,,( Plane State of Stresses ),平面（二向）應力狀態(tài),,,,,單向應力狀態(tài)( One Dimensional State of Stresses ),純剪應力狀態(tài)( Shearing State of Stresses ),三向應力狀態(tài),平面應力狀態(tài),例一,單向應力狀態(tài),,例二,平面應力狀態(tài)－－純剪切應力狀態(tài),,由平衡即可確定任意方向面上的正應力和切應力。,例三,S平面,例四,S平面,,,

4、,,,18,思路：研究力的平衡。設單元體厚度為1，有,,,10.1.1 平面應力狀態(tài),,返回主目錄,,,19,注意到txy=tyx，解得：,利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面應力狀態(tài)下的一般公式：,,返回主目錄,,,20,任一截面應力,,,10.1.2 極值應力與主應力,,返回主目錄,,,21,10.1.2 極值應力與主應力,（10-1）式,代入(

5、10-1)式：,sn取極值的條件：,,y,x,xy,tg,s,s,2t,a,-,-,=,2,0,=x,,,22,10.1.2 極值應力與主應力,注意到： tg2a0=tg(p+2a0),(10-5)式,,,23,切應力的極值？,代入(10-2)式：,令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0,=x,,,24,,極值切應力作用平面？,切應力取得極值的平面與主平面間的夾角為45?。,(10-6),即有：a1

6、=a0?p/4,,,xy,y,x,tg,t,s,s,a,2,2,1,-,=,,,25,求任一截面應力—(10-1)、(10-2)式,求主應力大小和方位—(10-5)、(10-4)式,主應力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,平面應力狀態(tài),,,26,求極值切應力 --(10-7)式，作用面與主平面相差45?。,,返回主目錄,,,27,解：1）主應力與主方向 主應力：由（10-5）式有：,主方向角：由（10-4）式有：,主

7、平面方位: a01=58.28?， a02=148.28?,,,28,a=58.28?時，由(10-1)式有:,a=148.28?時有: sn=smax=42.36MPa,在平行xy的前后面上，無應力作用，s、t均為零。故此面上還有第三個主應力 sz=0。,各主平面上的應力？(t=0),三個主應力按大小排列。,用主應力表示應力狀態(tài)，簡潔、清晰。,,,平面應力狀態(tài),29,3)最大、最小切應力,由（10-7）式有：,

8、a=13.28?時，由（10-2）式有:,注意還有,,,a=103.28?時:t=-22.36MPas??=20MPa,30,求任一截面應力---（10-1）、（10-2）式,求主應力及其方位---（10-5）、（10-4）式,主應力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,極值切應力作用面相互垂直，切應力互等（大小相等、符號相反，使單元體順時針轉者為正）。注意：極值切應力作用面上一般 s?0。,,,31,討論一、應力狀態(tài)的第一

9、不變量,由(10-5)式,即過某點任意兩相互垂直平面上正應力之和不變。,在三向應力狀態(tài)下，同樣可以得到：,,,32,討論二、主應力與極值切應力,由(10-5)式,二主應力之差的一半即該平面內(nèi)的最大切應力,平面應力狀態(tài)sz=0,,,33,討論三、極值切應力作用面上s是否為零？,由(10-7)式知，此時應有：,若s x ?0 或 sy ?0，則xy平面上的txy不是極值切應力。,若s x ? 0 且 s y ? 0，則極值切應力面上

10、必有 。,s =s,x,y,,,除純剪情況外，極值切應力平面上正應力不為零，且必有sx=sy。,34,思考題1： 圖中表示的純切應力狀態(tài)是否正確？ 如果正確，單元體應力狀態(tài)用主應力如何表示？,,(a),(b),(c),切應力互等？,t是極限切應力，主平面？,二主應力之和？,s 在哪個面上？ 多大？,1,,,35,求任一截面應力—(10-1)、(10-2)式,求主應力大小和方位—(10-5)、(10

11、-4)式,主應力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,平面應力狀態(tài)小結,,,36,求極值切應力 --(10-7)式，作用面與主平面相差45?。,除純剪情況外，極值切應力平面上正應力不為零，且必有sx=sy。,過某點任意三個相互垂直平面上的正應力之和不變。,,返回主目錄,,,37,習題: 10.1; 10.2(a)、(b)。,,返回主目錄,,,作業(yè): P265,38,前節(jié)回顧:,平面應力狀態(tài),主

12、應力 ;主平面,tmax=(s1-s3)/2s?+s??=s1+s3,,,,返回主目錄,,,39,線彈性應力-應變關系：s=Ee,對于用主應力表示的微元，沿主方向的應變（主應變）e1 是沿x1方向的伸長。有：,10.1.3 廣義胡克定理與應變能,,返回主目錄,,,40,10.1.3 廣義胡克定理與應變能,廣義胡克定理：,e1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1- m(s1+s2+s3)]/E,那

13、個應變大？,,,41,應變能（討論線彈性情況）,在三向應力狀態(tài)下，彈性變形能仍等于外力的功，且只取決于外力和變形的最終值，與中間過程無關。,應變能密度v：單位體積的應變能,按過程1加載，再按過程2卸載，多余的能量,？,,,42,可假定三個主應力按比例同時從零增加到最終值，則應變能密度v可寫為：,利用廣義胡克定理，有：,,,43,體積改變能密度和畸變能密度,ve= v +v,V,d,應變能密度,體積改變能密度,畸變能密度,一般情況：,

14、,vd=?,(10-12),,,44,畸變能密度： vd=ve-vV,一般情況：,,vd=?,三向等拉,?,,,2,45,,最后得到用主應力表示的畸變能密度為：,(10-13),,,46,(a)：,,,47,設 0<t<s；則 s1=s+t；s2=s-t； s3=0,有：,,返回主目錄,,,48,前節(jié)回顧:,平面應力狀態(tài),主應力 ;主平面,tmax=(s1-s3)/2s?+s??=s1+s3,,,,返回主目錄,,,

15、49,問題：復雜應力狀態(tài)下的強度？,研究： 危險點應力狀態(tài)強度判據(jù),？,10.2 強度理論,,,50,10.2 強度理論,單向應力狀態(tài)：單向拉壓試驗,強度理論: 復雜應力狀態(tài)下材料破壞或屈服規(guī)律的假說。,復雜應力狀態(tài)？,,返回主目錄,,,51,一、最大拉應力理論（第一強度理論）,考慮安全儲備，給出：,10.2.1 脆性材料的破壞強度理論,,返回主目錄,,,52,二、最大拉應變理論（第二強度理論）,考慮安全儲備，給出：,胡克

16、定理,,,返回主目錄,,,53,一、最大切應力理論（第三強度理論）,,10.2.2 延性材料的屈服強度理論,,返回主目錄,,,54,二、形狀改變比能理論（第四強度理論）,假說：,延性材料屈服取決于其畸變能密度 v 。,d,,Mises條件, 1913, 德,,,55,10.2.2 延性材料的屈服強度理論,二、畸變能密度理論（第四強度理論）,,,56,強度理論匯總：,破壞,屈服,常用,相當應力,強度條件的一般形式： 工作應力

17、?許用應力,,,57,例2 低碳工字鋼梁截面尺寸H=200mm，h=180mm， B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面受 M=30kN·m，F(xiàn)S=100kN作用，試校核其強度。,解：1) 截面彎曲正應力：s=M?y/Iz,y=0處： s=0,,,58,例2 低碳工字鋼截面尺寸H=200mm，h=180mm， B=100mm，a=92mm，[s]

18、=200MPa。 若截面M=30kN·m，F(xiàn)S=100kN，試校核其強度。,y=H/2處： Sz=0；tH/2=0,解：2) 截面切應力：t=FS?Sz/Izb,y=0處： Sz=12.74 ?10-5 m3；b=0.008 t0=tmax=FS?Sz/Iz(B-a) =100?103?12.74/(2.195?0.008)=72.5 (MPa),y=h/2處： Sz=9.5?10-5

19、 m3；b=0.1； th/2+=4.3 (MPa),翼緣,y=h/2處： Sz=9.5?10-5 m3; b=0.008; th/2-=54 (MPa),腹板,,,59,解：3)強度校核,截面各可能危險點應力狀態(tài)：,,,用主應力表示,D?,,,60,解：3)強度校核,,,討論： A處； 與梁彎曲正應力強度條件一致； C處： 與梁彎曲切應力強度條件一致； B處： 正、切應力同時存在，也可能是危險點。,61,前節(jié)回顧：,復雜應

20、力狀態(tài),討論組合變形問題,,,,返回主目錄,,,62,討論一：某脆性材料應力狀態(tài)如圖，如何選用適 當?shù)膹姸壤碚摚?討論二：s1=100MPa， s3=0，若s2=20， 50， 80MPa，問sr3與 sr4相差多大？,,,63,10.3 組合變形,研究思路,10.3.1 拉(壓)彎組合變形,剪切、扭轉暫不考慮。,,,,64,,x,y,,,,,z,,A,B,,,,C,D,截面

21、正應力： s=s?+s??+s???=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy,s是截面坐標 (y, z) 的函數(shù)，何處應力最大？FN作用下，各處應力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受壓；My作用下，AD受拉，BC受壓；,應力,10.3.1 拉(壓)彎組合變形,,返回主目錄,,,65,例3：正方形截面立柱，邊長為2a，開槽截面為邊長a?2a的矩形。求開與未開槽截面最大應力值之比。,2) 開槽部分橫截面應力:截取研究對象，求截面內(nèi)力。,解

22、：1) 未開槽部分橫截面應力: s =FN/A= F/4a2 (壓應力),FN=F； M=Fa/2壓彎組合變形且A處壓應力最大。,,,66,例4：矩形截面梁寬b=40mm，高h=60mm， L=0.5m。已知[s]=120MPa，試校核其強度。,2) 作梁的內(nèi)力圖,,,,,,,a=30?,L,A,,,,,,B,F=10kN,,L,C,FC,FAy,FAx,解：1）求約束力。平衡方

23、程： SFx=FAx-FCcos30?=0 SMA=FC?2Lsin30?-FL=0 SMB=FL-FAy?2L=0,3) 危險截面點在距A為L處，上端危險點壓應力最大，且切應力為零。,,解得： FC=10kN； FAx=8.66kN；FAy=5kN,,,,67,矩形截面梁寬b=40mm高h=60mm[s]=120MPa,該處： s彎=0； s壓=8660/2400=3.

24、6MPa。應力小一個量級，強度足夠。,強度足夠,,,,,,,a=30?,L,A,,,,,,B,F=10kN,,L,C,FC,FAy,FAx,,,,,68,例5 立柱在A (y，z)處受力F作用，求柱中最大應力。,解：截面法求內(nèi)力：,最大壓應力：,最大拉應力：,藍點處,綠點處,最大應力在何處？,FN=F 軸向壓縮； My=Fz 在xz平面內(nèi)彎曲； Mz=Fy 在xy平

25、面內(nèi)彎曲。,,,,,69,這是yz平面內(nèi)的直線方程：y=0時，z=h/6； z=0時，y=b/6；,截面核心：偏心壓縮載荷作用在截面核心內(nèi)，則截面上無拉應力。,若不允許受拉(混凝土立柱)， A的極限位置？,,,70,討論一：矩型截面柱的核心是菱形，圓形柱的核心？,設壓縮載荷如圖：FN=F； M=F?r,截面核心：,圓截面柱的截面核心是直徑為 d/4 的圓。,,返回主

26、目錄,,,71,扭矩 T=Mx,彎矩 Mz,彎矩 My,彎曲剪應力通常較小，暫不考慮；拉/壓彎組合已討論。,內(nèi)力,應力,,合成彎矩,10.3.2 圓軸的彎扭組合變形,,返回主目錄,,,72,10.3.2 圓軸的彎扭組合變形,強度條件,對于圓軸，有：WT=2Wz? =2W=pd3/16; W=pd3/32,第三強度理論,第四強度理論,,,73,彎、扭,方法歸納——圓軸的彎扭組合變形,圓軸合成彎矩 M,,,74,例6 傳動軸A

27、B直徑d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C輪直徑d =160mm， D輪直徑d =80mm，?=20?，已知力F1=2kN，[s]=120MPa，試校核軸的強度。,1,2,解：1) 受力分析,,,SFx=FAx =0,SMx=F2cosa?d2/2-F1cosa?d1/2=0 ? F2=4kN,SMy=F1sina?AC-F2cosa?AD-FBz?

28、AB=0 ?FBz=-2.28kN,SMz=F1cosa?AC-F2sina?AD +FBy?AB=0 ?FBy=0.286kN,SFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0 ? FAz=-0.8kN,SFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0 ? FAy=-0.8kN,有平衡方程：,,,75,2) 求軸的內(nèi)力，,3) 危險截面：可能是 C 或者 D 。 再考查合成彎矩

29、。,繞x軸的扭轉：CD段扭矩為： T =F1cosa?d1/2=0.15 kN·m,xy面內(nèi)彎曲：無分布載荷，彎矩是各段線性的，且： MzC=FAy?AC=-0.16 kN·m MzD=FBy?DB=0.0572 kN·m,xz面內(nèi)彎曲：有： MyC=FAz?AC=-0.16 kN·m MyD=FBz?DB=-0.456 kN·m,畫內(nèi)力圖,,

30、,76,3) 危險截面：可能是 C 或者 D 。 再考查合成彎矩。,由,D 處是危險截面，且 T=0.15 kN·m; M=0.46 kN·m,4) 強度校核：,強度足夠！,,,77,例7 ：斜齒輪直徑D=400mm，空心軸外徑d=40mm，a=0.5。齒面上受Fy=1kN、Fz=2.4kN及平行于軸線的力Fx=0.8kN作用。[s]=120MPa。試校核軸的強度。,解：1）求支反力：,,SFx=FAx=-Fx=

31、-0.8kN,SMy=-0.4FAz-0.2Fz=0?FAz=-1.2kN,SMz=0.4FAy -0.2Fx-0.2Fy=0 ?FAy=0.9kN,SMx=FzD/2-M=0 ?M=0.48kN·m,2）畫內(nèi)力圖：,,,78,3）危險點應力：(壓彎扭),危險點：軸C截面外圓周上。,3）強度校核：,強度足夠！,,,79,彎、扭,方法歸納——組合變形,圓軸合成彎矩

32、 M,,,80,力偶用矢量表示,討論二：矩形截面桿雙向彎曲能否用合成彎矩？,,?,合成彎矩M不在對稱面內(nèi)。,在xAB面內(nèi)也是平面彎曲。,,,返回主目錄,,,線彈性情況下，分別考慮xy、xz平面的彎曲，各處應力再疊加。,81,設圓筒承受內(nèi)壓為 p ，圓筒的平均直徑為 ｄ，壁厚為ｔ。一般規(guī)定， 當壁厚 t ≤ d/20 時，統(tǒng)稱為薄壁圓筒。,工程中經(jīng)常遇到圓筒形容器，如鍋爐、液壓罐、儲能器等。,因為容器尺寸一般不大，氣體重力引起的

33、壓強 與 相比很小而忽略不計，故可認為容器內(nèi)壓強是處處相等的。,討論三 薄壁容器的強度,82,例8 一蒸汽鍋爐汽包承受的蒸汽壓力的壓強為p。汽包圓筒部分的內(nèi)徑為D，厚度為δ，δ << D。試分別按第三和第四強度理論寫出其相當應力。,由于筒底兩端部受壓力作用，在圓筒橫截面上將引起軸向應力（或稱為縱向應力）σx 。而在筒壁壓力的作用下，圓筒縱截面上將引起環(huán)向應力（或稱為周向應力）σc。,83,,,

34、,1. 計算汽包橫截面上的軸向應力 ?x,用假想截面沿橫截面切開，由圓筒受力的對稱性知，作用在圓筒底上的蒸汽壓力的合力 F 與軸線重合（圓筒壁的外力自成平衡）。與之平衡的是筒壁橫截面上的內(nèi)力（拉力）Nx。,F= pπD2/4,84,,,85,,,用假想截面從汽包中截取一單位長度圓筒，為求出縱截面的應力，再用假想截面沿直徑切開，內(nèi)壓在水平方向自成平衡，由豎直方向的平衡知縱截面上有正應力?c （周向應力）。,2. 求筒壁縱截面上的環(huán)向

35、應力?c,86,3. 求徑向應力? r,在外表面， ? r =0，在內(nèi)表面 ? r = – p ；,在內(nèi)、外表面之間，顯然應有 p< ?r<0,可知,87,顯然,,y,,sx,x,,,sx,,,sc,sc,,,88,例 9,,已知：? 和 ?, 試寫出最大切應力準則和形狀改變比能準則的表達式。,解：首先確定主應力,,?2＝0,最大切應力準則,?r3=?1-?3=,形狀改變比能準則,?r4=,89,例10 有一鑄鐵

36、制成的構件,其危險點的應力狀態(tài)如圖所示, ?x=20MPa，?x=20MPa，材料容許拉應力[?t]=35MPa，容許壓應力為[?c]=120MPa ，試校核此構件的強度。,解：危險點的主應力,因為鑄鐵為脆性材料，且受拉，所以采用第一強度理論,所以構件安全,90,1.研究方法,線彈性小變形,疊加法,s=M/W; t=T/WT,拉/壓、彎、扭,T；My；Mz,單向,+FN,組合變形小結,,,91,4. 只有圓截面時，合成彎矩