§8.2.3雙曲線幾何性質(zhì)(1)

1、雙曲線的幾何性質(zhì)（1）1一課題：雙曲線的幾何性質(zhì)（1）二教學(xué)目標(biāo)：1能用對(duì)比的方法分析雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等幾何性質(zhì)，并熟記之；2掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3明確雙曲線方程中的幾何意義；abc4能根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，確定雙曲線的方程并解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.三教學(xué)重、難點(diǎn)：雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)和漸近線.四教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；2橢圓的性質(zhì)；（二）新課講解：以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為例進(jìn)行說(shuō)明。12222??b

2、yax1范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè).ax??注意：從雙曲線的方程如何驗(yàn)證？從標(biāo)準(zhǔn)方程可知，由此雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式12222??byax22221byax??122?ax即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè).22ax?ax?ax??2對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線12222??byax的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中

3、心.12222??byax3頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn).在雙曲線的方程里，對(duì)稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和12222??byaxxy0?yax??軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn).x)0()0(2aAaA?12222??byax令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。0?x1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做

4、雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng).2AA2aa虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng).2BB2bb在作圖時(shí)，我們常常把虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)畫上（為要確定漸進(jìn)線），但要注意他們并非是雙曲線的頂點(diǎn).4漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近.12222??byax在初中學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)提到x軸y軸都是它的漸近線。高中三角函數(shù)，漸xky?tan

5、yx?雙曲線的幾何性質(zhì)（1）3在軸上，圓心與原點(diǎn)重合；這時(shí)，上、下口的直徑平行于軸，且AA?xCCBB??x，；設(shè)曲線的方程為：||132()CCm???||252()BBm???22221(00)xyabab????令點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以C(13)yB(2555)y?BC化簡(jiǎn)，得解得2222222225(55)1(1)12131(2)12ybyb????????????219275181500bb???25

6、()bm?∴所求雙曲線的方程為：.221144625xy??例3求與雙曲線有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程.2244xy??(22)M解：∵與雙曲線有共同漸近線2244xy??故設(shè)所求雙曲線的方程為224(0)xykk???又∵過(guò)點(diǎn)∴(22)M2242212k????∴所求雙曲線的方程為即.22412xy??221312xy??五課堂練習(xí)：課本練習(xí)第1，3，4，5題113P六課堂小結(jié)：雙曲線的性質(zhì)：（可以讓學(xué)生填寫下表）橢圓雙曲線不同