2.61雙曲線的性質(zhì)

1、2.61雙曲線的性質(zhì)雙曲線的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解雙曲線的對稱性、范圍、定點、離心率、漸近線等簡單性質(zhì).2.能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程.3.能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題.【要點梳理要點梳理】要點一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)要點一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線（a＞0，b＞0）的簡單幾何性質(zhì)22221xyab??范圍范圍22221xxaaxaxa?即或??????雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=a和x=a的

2、兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標(biāo)滿足x≤a或x≥a.對稱性對稱性對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、22221xyab??y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點22221xyab??為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩

3、個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標(biāo)分別為22221xyab??A1（a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設(shè)B1（0，b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆

4、。②雙曲線的焦點總在實軸上。③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。22cceaa??②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率。1cea??由c2=a2b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越22222()11bcaceaaa??????baba大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。③等軸雙曲線，所以離心率。ab?2?e漸近線漸

5、近線經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=a，經(jīng)過點B1、B2作x軸的平行線y=b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。byxa??我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。xaby??22???||bbMNxaxaa22220???????bxaxaabxxa要點二、雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較要點二、雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較例1求雙曲線的實軸長和虛軸長、頂點坐標(biāo)、焦點坐

6、標(biāo)、漸近線方程與離心率.22169144??xy【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可知實半軸長，虛半軸長，∴221916yx??3a?4b?225cab???∴雙曲線的實軸長，虛軸長，頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)，26a?28b?(03)(03)?(05)(05)?離心率，漸近線方程為53cea??34yx??【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a，b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點所在軸的不同，幾何量也有不同的表示.舉一反三：舉一反三：【變式

7、1】雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m等于()AB－4C4D.14?14【答案】A【變式2】已知雙曲線8kx2－ky2=2的一個焦點為，則k的值等于（）3(0)2?A－2B1C－1D32?【答案】C類型二：雙曲線的漸近線類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。（1）；（2）221916xy??221916xy??【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為：221916xy??220916xy??即43yx??（

8、2）雙曲線的漸近線方程為：221916xy??220916xy??即43yx??【總結(jié)升華】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線22221(00)xyabab????byxa??22221yxab??方程為，即；若雙曲線的方程為（，焦點在軸上，bxya??ayxb??2222xymn???00mn???、，x，焦點在y軸上），則其漸近線方程為.0??22220xymn???0xymn???nyxm??舉一反三：舉一反三：【變式1】求下列

9、雙曲線方程的漸近線方程（1）；（2）；（3）2211636xy??2228xy??22272yx??【答案】（1）；（2）；（3）32yx??22yx??2yx??【變式2】(2015北京)已知雙曲線的一條漸近線為，則a＝________2221(0)xyaa???30xy??【答案】33【解析】∵漸進(jìn)線為，∴有，由雙曲線的方程得b=1，且a＞0所30xy??3ba???2221xya??以33a?【變式３】（2016北京文）已知雙曲線

10、22221xyab??（a＞0，b＞0）的一條漸近線為2xy=0，一個焦點為（50），則a=_______；b=_____________.【答案】依題意有，結(jié)合c2=a2b2，解得a=1，b=2。52cba???????例3.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1)與雙曲線有共同的漸近線，且過點；221916xy??(323)?（2）一漸近線方程為，且雙曲線過點320xy??(863)M【解析】（1）解法一：解法一：當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲