§8.2.3雙曲線幾何性質(1)

1、雙曲線的幾何性質（1）1一課題：雙曲線的幾何性質（1）二教學目標：1能用對比的方法分析雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質，并熟記之；2掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3明確雙曲線方程中的幾何意義；abc4能根據雙曲線的幾何性質，確定雙曲線的方程并解決簡單問題.三教學重、難點：雙曲線的范圍、對稱性、頂點和漸近線.四教學過程：（一）復習：1雙曲線的定義和標準方程；2橢圓的性質；（二）新課講解：以雙曲線標準方程為例進行說明。12222??b

2、yax1范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側.ax??注意：從雙曲線的方程如何驗證？從標準方程可知，由此雙曲線上點的坐標都適合不等式12222??byax22221byax??122?ax即，即雙曲線在兩條直線的外側.22ax?ax?ax??2對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線12222??byax的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中

3、心.12222??byax3頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點.在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和12222??byaxxy0?yax??軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點.x)0()0(2aAaA?12222??byax令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。0?x1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做

4、雙曲線的實半軸長.2AA2aa虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長.2BB2bb在作圖時，我們常常把虛軸的兩個端點畫上（為要確定漸進線），但要注意他們并非是雙曲線的頂點.4漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近.12222??byax在初中學習反比例函數時提到x軸y軸都是它的漸近線。高中三角函數，漸xky?tan

5、yx?雙曲線的幾何性質（1）3在軸上，圓心與原點重合；這時，上、下口的直徑平行于軸，且AA?xCCBB??x，；設曲線的方程為：||132()CCm???||252()BBm???22221(00)xyabab????令點的坐標為，則點的坐標為，因為點在雙曲線上，所以C(13)yB(2555)y?BC化簡，得解得2222222225(55)1(1)12131(2)12ybyb????????????219275181500bb???25

6、()bm?∴所求雙曲線的方程為：.221144625xy??例3求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程.2244xy??(22)M解：∵與雙曲線有共同漸近線2244xy??故設所求雙曲線的方程為224(0)xykk???又∵過點∴(22)M2242212k????∴所求雙曲線的方程為即.22412xy??221312xy??五課堂練習：課本練習第1，3，4，5題113P六課堂小結：雙曲線的性質：（可以讓學生填寫下表）橢圓雙曲線不同