雙曲線的幾何性質

1、掌握雙曲線的簡單的幾何性質．了解雙曲線的漸近性及漸近線的概念．掌握直線與雙曲線的位置關系．,2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質,【課標要求】,【核心掃描】,雙曲線的幾何性質的理解和應用．(重點)與雙曲線離心率，漸近線相關的問題．(難點)經常與方程、三角、平面向量、不等式等內容結合考查學生分析問題的能力．,1．,2．,3．,1．,2．,3．,雙曲線的幾何性質,自學導引,續(xù)表,F1(－c，0)、F2(c，0),F1(0，－c)、F

2、2(0，c),|F1F2|＝2c,A1(－a，0)、A2(a，0),A1(0，－a)、A2(0，a),2a,2b,試一試：嘗試用a，b表示雙曲線的離心率．,(2)頂點：雙曲線與它的對稱軸的交點叫雙曲線的頂點，雙曲線只有兩個頂點，相應的線段叫實軸，實軸長為2a.而虛軸長為2b，且a2＋b2＝c2.特別地當2a＝2b時的雙曲線叫等軸雙曲線，方程為x2－y2＝a2或y2－x2＝a2.,名師點睛,把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx

3、－a2m2－a2b2＝0.①當b2－a2k2＝0時，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線C相交于一點．②當b2－a2k2≠0時，Δ>0?直線與雙曲線有兩個公共點，此時稱直線與雙曲線相交；Δ＝0?直線與雙曲線有一個公共點，此時稱直線與雙曲線相切；,Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點，此時稱直線與雙曲線相離．注意：直線和雙曲線只有一個公共點時，直線不一定與雙曲線相切，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，只有一

4、個交點．,題型一　已知雙曲線的標準方程求其幾何性質,求雙曲線16x2－9y2＝－144的半實軸長、半虛軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．[思路探索] 可先把方程化成標準方程，確定a，b，c，再求其幾何性質．,【例1】,規(guī)律方法 已知雙曲線的標準方程確定其性質時，一定要弄清方程中的a，b所對應的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，從而確定e.若方程不是標準形式的先化成標準方程，再確定a、b、c的值．,求雙曲線x2－3y2

5、＋12＝0的實軸長、虛軸長、焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程、離心率．,【變式1】,[思路探索] 可設出雙曲線的標準方程，依題意建立待定參數的方程或方程組求解．,題型二　根據雙曲線的幾何性質求標準方程,【例2】,規(guī)律方法 根據雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．首先，由已知判斷焦點的位置，設出雙曲線的標準方程，再用已知建立關于參數的方程求得．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討

6、論，也可設雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，從而直接求得．如本題中已知漸近線方程ax＋by＝0，可設所求雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)非常簡捷．,【變式2】,訓練65,5、雙曲線定義的應用8、中位線定理的應用,審題指導 本題主要考查直線與雙曲線的位置關系、向量知識及方程思想的應用．,題型三　直線與雙曲線的位置關系,【例3】,【題后反思】 直線與雙曲線相交的題目，一般先聯立方程組，消去一個變量，轉化成關于x

7、或y的一元二次方程．要注意根與系數的關系，根的判別式的應用．若與向量有關，則將向量用坐標表示，并尋找其坐標間的關系，結合根與系數的關系求解．,【變式3】,[錯解] 假設存在m過B與雙曲線交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中點，當m斜率不存在時，顯然只與雙曲線有一個交點；當m斜率存在時，設m的方程為y－1＝k(x－1)，,誤區(qū)警示　忽略判別式的限制致誤,【示例】,對于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內部一點為中點的弦是存在的，而對于雙曲線，這樣

8、的弦就不一定存在，故求出k值后需用判別式判定此時直線是否與雙曲線有交點．[正解] 假設存在直線m過B與雙曲線交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中點，當直線m的斜率不存在時，顯然只與雙曲線有一個交點；當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y－1＝k(x－1)，,關于中點的問題我們一般可以采用兩種方法解決：(1)聯立方程組，消元，利用根與系數的關系進行設而不解，從而簡化運算解題；(2)利用“點差法”，求出與中點、斜率有關的式子，進而求解．