有限元變分原理

1、11有限元變分原理有限元變分原理有限元是求解偏微分方程的數(shù)值方法，在數(shù)學(xué)上屬于變分法范疇，是古典的Ritz－Galerkin方法與分片多項(xiàng)式插值的結(jié)合。古典的Ritz－Galerkin方法的試函數(shù)是求解域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，有限元法的試函數(shù)是分片多項(xiàng)式。作為變分法的試函數(shù)產(chǎn)生了很大區(qū)別：古典的Ritz－Galerkin方法的試函數(shù)要求域內(nèi)的連續(xù)或平方可積且滿足位移邊界條件，試函數(shù)定義在泛函分析的Hilbert空間，或稱為內(nèi)積空間。有限元法的試

2、函數(shù)要求在單元域內(nèi)連續(xù)或平方可積，且不用考慮位移邊界條件，因?yàn)橛邢拊且怨?jié)點(diǎn)位移參數(shù)為未知數(shù)，可以直接代入位移邊界條件，但是單元間出現(xiàn)了連續(xù)性條件，即所謂的平面和三維彈性問題的C0連續(xù)，和薄板問題的C1連續(xù)等，相對古典的Ritz－Galerkin方法的試函數(shù)是一種廣義函數(shù)。有限元試函數(shù)定義在泛函分析的Sobolev空間，或稱為廣義導(dǎo)數(shù)空間。2分片檢驗(yàn)分片檢驗(yàn)2.1分片檢驗(yàn)分片檢驗(yàn)長期以來在有限元收斂理論中的分片檢驗(yàn)成為關(guān)注的焦點(diǎn)，同時(shí)也

3、是一個(gè)疑難癥。分片檢驗(yàn)所以倍受關(guān)注，是因?yàn)樗粌H可以用于檢驗(yàn)單元的收斂性還可以用于構(gòu)造收斂單元，而且十分方便。分片檢驗(yàn)的研究大致經(jīng)歷了如下三個(gè)里程。第一，1965年Irons提出了不協(xié)調(diào)元的分片檢驗(yàn)條件(PatchTest)[12]，這是一個(gè)通過數(shù)值計(jì)算檢驗(yàn)單元的收斂性的方法，可以通過對一小片有限元問題的數(shù)值計(jì)算檢驗(yàn)單元的收斂性，也是有限元法中最實(shí)用的檢驗(yàn)單元收斂性的方法，但是，作為一種數(shù)值檢驗(yàn)的方法，在數(shù)學(xué)和力學(xué)原理上的提法都不夠嚴(yán)密

4、，而有限元的單元收斂性又是不能回避的問題。鑒于這個(gè)方法的有效性和實(shí)用性，人們一直對其開展系列的理論研究工作。1972年Strang首先給出分片檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)描述[3]，后來，這個(gè)條件被解釋成對一個(gè)單元的約束條件，稱之為單體條件[4]，這個(gè)條件使用很方便，可以做為單體的約束條件構(gòu)造單元函數(shù)，但是，對這個(gè)分片檢驗(yàn)一直缺少嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。第二，1980年Stummel基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，建立了不協(xié)調(diào)元收斂的充分必要條件廣義分片檢驗(yàn)[5]，并且，通

5、過舉反例證明Irons的分片檢驗(yàn)即不充分也不必要[6]。這個(gè)嚴(yán)格的理論是整體條件，而非單體條件，應(yīng)用很困難，只限于用于少量單元的檢驗(yàn)，而且需要有相當(dāng)?shù)姆汉治龌A(chǔ)，對于大多數(shù)單元無法得到應(yīng)用，更是無法用于指導(dǎo)構(gòu)造不協(xié)調(diào)元，因此深入研究實(shí)用的不協(xié)調(diào)元收斂性條件是十分必要的。此間，還推出了一些實(shí)用的充分條件，例如，F(xiàn)EM檢驗(yàn)[7]和IPT檢驗(yàn)[8]等，1995年建立了C0類非協(xié)調(diào)元收斂準(zhǔn)則—強(qiáng)分片檢驗(yàn)(SPT)[9]，1997年基于加權(quán)So

6、bolev空間理論，建立了軸對稱非協(xié)調(diào)元收斂準(zhǔn)則—強(qiáng)分片檢驗(yàn)(ASPT)[10]。但3下面，證明單體條件是常應(yīng)力分片檢驗(yàn)的充分條件，并根據(jù)力學(xué)原理解釋了被檢驗(yàn)的單元函數(shù)的弱連續(xù)性和弱超逼近性條件，為分片檢驗(yàn)提供一個(gè)力學(xué)理論基礎(chǔ)。2.2單體條件是通過分片檢驗(yàn)的充分條件單體條件是通過分片檢驗(yàn)的充分條件上述單體條件是單元函數(shù)的約束條件，下面將證明單體條件是通過常應(yīng)力分片檢驗(yàn)的充分條件。分片檢驗(yàn)的有限元方程有兩種表示方法，一種是由分片檢驗(yàn)對應(yīng)的

7、常應(yīng)力求出相應(yīng)的邊界力并轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)外力，另一種是直接代入分片檢驗(yàn)函數(shù)對應(yīng)的邊界節(jié)點(diǎn)位移，可以證明當(dāng)單元滿足剛體位移條件時(shí)，兩種方法是等價(jià)的，但是，前者可以自動檢查剛體位移條件，而后者便于實(shí)施。有限元列式為，(12)qBqBqBch??其中，，(13)0BBBh??????????eeVTcVTdsuRqBBdvBuDBq~110顯然，(14)??evhdvB0由此，單元?jiǎng)偠染仃嚤环纸鉃閮蓚€(gè)部分，將（14）代入分片檢驗(yàn)條件的無外力作用的有

8、限元方程，得，(15)?????????0)(cneehecqqkk其中，，分別為對應(yīng)“常應(yīng)變“和高階應(yīng)變“的單元?jiǎng)??evcTcecdvCBBk??evhThehdvCBBk度矩陣，為對應(yīng)分片檢驗(yàn)位移函數(shù)限定的邊界節(jié)點(diǎn)位移向量（按沖大數(shù)方法求解cq還應(yīng)做相應(yīng)的處理）。當(dāng)方程（15）滿秩時(shí)，解存在且唯一。顯然，代入，cqcqq?如果（15）式成立，則通過分片檢驗(yàn)，即，(16)?????????0)(cnecehecqqkk對于檢驗(yàn)函數(shù)邊