變分迭代方法及Lagrange坐標系下的間斷有限元方法研究.pdf

1、數(shù)值求解偏微分方程（組）已經(jīng)成為研究自然科學(xué)、工程技術(shù)以及經(jīng)濟管理等領(lǐng)域各種實際問題的重要工具.對偏微分方程（組）的近似解析方法或數(shù)值解法的研究具有重要的理論和實際應(yīng)用價值.
　　變分迭代方法是構(gòu)造偏微分方程近似解析解的有效方法之一.它是基于La-grange乘子的一種近似解析方法.通過引入限制變分的定義，可以方便識別迭代公式中的Lagrange乘子.其優(yōu)點在于求解過程中不依賴于小參數(shù)、計算簡便、利用該方法得到的近似解可以繼續(xù)進行

2、解析運算等.
　　間斷Galerkin有限元方法在保持通常有限元方法特點的同時還具有局部守恒、適用于解有間斷的問題、形式上高階精度、容易實現(xiàn)并行化和自適應(yīng)等特點.該方法被廣泛應(yīng)用于計算流體力學(xué)中.局部間斷Galerkin有限元方法是Runge-Kutta間斷Galerkin有限元方法的推廣.它既具有間斷Galerkin有限元方法的特點，也具有自己獨特的一些優(yōu)勢.局部間斷Galerkin有限元方法可以用于求解一些高階偏微分方程.在求

3、解過程中不但可以得到方程的數(shù)值解，還可以得到引入中間變量（通常為解的導(dǎo)數(shù)）的數(shù)值解.
　　本文工作由三部分內(nèi)容構(gòu)成:第一部分內(nèi)容是首次將變分迭代方法用于討論廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程組和耦合MKdV方程組近似解析解，得到了一些有意義的結(jié)果;第二部分內(nèi)容是構(gòu)造了一維和二維Burgers方程及Burgers方程組基于Hopf-Cole變換的局部間斷Galerkin有限元方法;第三部分內(nèi)容是研究了Lagrange坐標

4、系下一維和二維氣動方程組的間斷Galerkin有限元方法，并通過數(shù)值算例驗證所構(gòu)造算法的效率和可靠性.
　　全文安排如下:
　　第一章介紹了本文的選題背景及變分迭代方法和間斷有限元方法的發(fā)展歷史及應(yīng)用情況，并對Lagrange方法的進展做了介紹.
　　第二章討論了變分迭代方法在廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程組和耦合MKdV方程組中的應(yīng)用.得到了上述方程組的近似解析解，并通過數(shù)值算例將得到的結(jié)果與精確解進

5、行了比較.
　　第三章討論了基于Hopf-Cole變換的局部間斷Gaterkin有限元方法在Burgers方程及方程組中的應(yīng)用.一維Burgers方程在Hopf-Cole變換下可以轉(zhuǎn)化為線性擴散方程.對于一類滿足勢條件的二維Burgers方程組可以通過二維Hopf-Cole變換將其轉(zhuǎn)化為二維擴散方程.而—類二維Burgers方程可以寫成與之等價的滿足勢條件方程組的形式.通過對轉(zhuǎn)化后的擴散方程利用局部間斷Galerkin方法可以得到

6、擴散方程的數(shù)值解及導(dǎo)函數(shù)的數(shù)值解，進而可以通過Hopf-Cole變換得到Burgers方程及方程組的數(shù)值解.利用局部間斷Galerkin方法可以同時計算出未知函數(shù)及所引進輔助變量的數(shù)值解.不需要通過重構(gòu)來得到Hopf-Cole變換中需要的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù).而且利用局部間斷Galerkin方法計算所得的原始變量和中間變量可以達到相同的精度，這樣就避免引入額外的誤差.
　　第四章討論了Lagrange坐標系下可壓縮流氣動方程組的間斷Ga

7、lerkin有限元方法.我們從Lagrange坐標系下氣動方程組微分形式的守恒律出發(fā)，將在Euler坐標系下取得較好數(shù)值模擬結(jié)果的Runge-Kutta間斷Galerkin有限元方法推廣到Lagrange坐標系下.一些單介質(zhì)和多介質(zhì)流的數(shù)值算例檢驗了該算法的實用性和效率.該方法將幾何守恒律和物理守恒律統(tǒng)一求解，在計算過程中不需要網(wǎng)格節(jié)點的速度信息，也不需要引入交錯網(wǎng)格.是一種計算簡便，易于實現(xiàn)的數(shù)值方法.該方法綜合了Lagrange方法