應(yīng)用微分中值定理的常見證明方法修改后

1、1專題研究：應(yīng)用微分中值定理的常見證明方法專題研究：應(yīng)用微分中值定理的常見證明方法一至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)，使得，使得的命題。的命題。)ba(??0)(f)n(??其思路有二：其思路有二：（1）驗(yàn)證驗(yàn)證在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件(Rollthey)由該定理得證。由該定理得證。0)x(f)1n(?]ba[（2）驗(yàn)證驗(yàn)證為的最值點(diǎn)或極值點(diǎn)，用費(fèi)馬定理（的最值點(diǎn)或極值點(diǎn)，用費(fèi)馬定理（Fmatthey）得到命題證明。）得到

2、命題證明。?)x(f1)n(例1設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且有，則在內(nèi)至少存在一個(gè)，使得)x(f]ba[0)b(f)a(f???)ba(?0)(f??解：由題設(shè)，可知異號，不妨設(shè)00)b(f)a(f???)b(f)a(f??和)a(f?)b(f?由極限的保號性可得：?0ax)a(f)x(f)a(flimax??????，當(dāng)時(shí)有?01???)aa(x1???0ax)a(f)x(f???)a(f)x(f??同理：0bx)b(f)x(f)b(flima

3、x??????，當(dāng)時(shí)有?02???)bb(x2??0bx)b(f)x(f???)b(f)x(f??又因?yàn)樵谏线B續(xù)，在上必有最小值，由以上可知最小值必在內(nèi)。設(shè))x(f]ba[)x(f]ba[)ba(，由費(fèi)馬定理可知)x(f)(f)ba(minbxa??????0)(f??例2若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中)x(f)ba(0)x(f)x(f)x(f321???，證明：在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得：bxxxa321????)xx(31?0)(f??

4、證：依題意，可對在分別應(yīng)用羅爾中值定理，故存在，f(x)][]x[3221xxx0)(f1??)(211xx??。則在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，所以在內(nèi)至0)(f2??)(322xx??)(xf][][3121xx???)xx(31少有一點(diǎn)使得：。?][][3121xx????0)(f??例3已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)存在，又連結(jié)，兩點(diǎn)的直)x(f]ba[)ba(x)(f))a(fa(A))b(fb(B線交曲線于，且，試證：在內(nèi)至少存在一個(gè)使

5、得：)x(fy?))c(fc(Cbca??)ba(?0)(f??證：依題意，可對在分別應(yīng)用拉格朗日中值定理(Lagrangethey)，則有：f(x)]bc[]ca[ac)a(f)c(f)(f1????)ca(1??ab)a(f)b(f)(f2????)bc(2??因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以：CBAab)a(f)b(fcb)c(f)b(fac)a(f)c(f????????3則可作輔助函數(shù)：)x(ge)x(f)x(F?練習(xí)：1.在上可導(dǎo)，且，證

6、明：至少存在一點(diǎn)，使得：)x(f]10[???210x1dx)x(fe2)1(f2)10(??。)(f2)(f????分析：令，則要證結(jié)論x???2x2Cef(x)lnCx)x(lnf2xf(x)(x)f)x(2xf)x(f????????所以：若令Ce)x(f2x??0C?則可作輔助函數(shù)：2xe)x(f)x(F??2.在上二階可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使)x(g)x(f]ba[)b(g)a(g)b(f)a(f??)ba(??得：。

7、)(g)(2f)g(g(b)f(a))f()(g)(f???????分析本題結(jié)論：)(g)(2f)(g)a(f)(g)(f)(g)(f)b(g)(f?????????????令)]x(g)x(f)x(g)x([f)x(g)a(f)b(g)x(fx??????積分?C)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)a(f)b(g)x(f????故可做輔助函數(shù))x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)a(f)b(g)x(f)x(F????3.（0

8、5年數(shù)學(xué)（一）考研試題18）已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且)(xf]10[)10(，證明：1)1(0)0(??ff（1）存在使得；)10(??????1)(f（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得.)10(???1)()(???ff證：（1）令，則在上連續(xù)，且1)()(???xxfxg)(xg)10(，01)1(01)0(?????gg所以存在使得，即)10(??01)()(???????fg????1)(f（2）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得：