高二 定積分及其簡單應用

1、 定積分及其簡單應用 定積分及其簡單應用 定積分∫ba[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的幾何意義是什么？ 提示：由直線 x＝a，x＝b 和曲線 y＝f(x)，y＝g(x)所圍成的曲邊梯形的面積． ②一般情況下，定積分∫baf(x)dx 的幾何意義是介于 x 軸、曲線 f(x)以及直線 x＝a，x＝b 之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在 x 軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在 x 軸下方的面積

2、等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)． 3．直線 x＝0，x＝2，y＝0 與曲線 y＝x2 所圍成的曲邊梯形的面積為________． 解析：∫20x2dx＝13x3 |20＝83. 答案：83 4．∫10 1－x2dx＝________. 解析：由定積分的幾何意義可知，∫10 1－x2dx 表示單位圓 x2＋y2＝1 在第一象限內部分的面積，所以 ∫10 1－x2dx＝14π. 答案：14π 例 1、利用微積分基本定理求下列定

3、積分： (1)∫21(x2＋2x＋1)dx； (2)∫π0(sin x－cos x)dx； (3)∫20x(x＋1)dx； (4)∫21? ? ? ? e2x＋1x dx； (5) 2 0? ?sin2x2dx. [解答] (1)∫21(x2＋2x＋1)dx＝∫21x2dx＋∫212xdx＋∫211dx＝x33 |21＋x2 |21＋x |21＝193 . (2)∫π0(sin x－cos x)dx＝∫

4、π0sin xdx－∫π0cos xdx＝(－cos x) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x(x＋1)dx＝∫20(x2＋x)dx＝∫20x2dx＋∫20xdx＝13x3 |20＋12x2 |20＝? ? ? ? 1 3×23－0 ＋? ? ? ? 1 2×22－0 ＝14 3 . (4)∫21? ? ? ? e2x＋1x dx＝∫21e2xdx＋∫21 1 xdx＝12e2x |21＋ln x |2

5、1＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1＝12e4－12e2＋ln 2. (5) 2 0? ?sin2 x2dx＝ 2 0? ? ? ? ? ? 1 2－12cos x dx＝ 2 0? ?1 2dx－122 0? ? cos xdx＝12x 2 0?－12sin x 2 0?＝π4－12＝π－24 . 變式練習 1．求下列定積分： (1)∫20|x－1|dx；(2) 2 0? ? 1－sin 2xdx. 例 1、 (2012

6、83; 山東高考)由曲線 y＝ x，直線 y＝x－2 及 y 軸所圍成的圖形的面積為( ) A.103 B．4 C.163 D．6 [解答] 由 y＝ x及 y＝x－2 可得，x＝4，即兩曲線交于點(4,2)．由定積分的幾何意義可知，由 y＝ x及 y＝x－2 及 y 軸所圍成的封閉圖形面積為 ∫40( x－x＋2)dx＝? ? ? ? 2 3x32－12x2＋2x

7、|40＝163 . [答案] C 若將“y＝x－2”改為“y＝－x＋2”， 將“y 軸”改為“x 軸”， 如何求解？ 解：如圖所示，由 y＝ x及 y＝－x＋2 可得 x＝1.由定積分的幾何意義可知，由 y＝ x，y＝－x＋2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積為∫20f(x)dx＝∫10 xdx＋∫21(－x＋2)dx＝23x32 |10＋? ? ? ? 2x－x22 |21＝76. 變式練習 3．(2013&#

8、183; 鄭州模擬)如圖，曲線 y＝x2 和直線 x＝0，x＝1，y＝14所圍成的圖形(陰影部分)的面積為( ) A.23 B.13 C.12 D.14 解析：選 D 由? ? ? ? ? y＝14，y＝x2?x＝12或 x＝－12(舍)，所以陰影部分面積 S＝12 0 ? ? ? ? ? 1 4－x2 dx＋ 1 12 ? ? ? ? ? x2－14 dx＝? ? ? ? 1 4x－13x312 0

9、＋? ? ? ? 1 3x3－14x 1 12＝14. 定積分在物理中的應用 例 2、列車以 72 km/h 的速度行駛，當制動時列車獲得加速度 a＝－0.4 m/s2，問列車應在進站前多長時間，以及離車站多遠處開始制動？ [解答] a＝－0.4 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s.設 t s 后的速度為 v，則 v＝20－0.4t.令 v＝0，即 20－0.4 t＝0 得 t＝50 (s)．設列車由開始制動到停止所走過的路程