以“教會思考”為目標的數學教學案例研究

1、以“教學生思考”為目標的數學教學案例研究——以“平面向量的數量積”為例南京市中華中學夏小強2100191問題的提出問題的提出南京師范大學的涂榮豹先生認為，數學教學的目標有三個：一是使學生愛學；二是會學；三是發(fā)展學生的認識力，發(fā)展學生的認識力指的就是數學的教學要教學生學會思考。教師在教學過程中，對數學知識的呈現方式存在差異，這種差異對學生獲得數學知識也許影響不大，但對學生數學思維活動的影響卻可能有很大的差別。2教學內容說明教學內容說明向量

2、是刻畫現實世界的重要數學模型，力、速度、位移等都是向量的實際背景，可以用向量加以刻畫和描述。用什么樣的數學模型來刻畫位移、速度、力這樣的量？這個數學模型有什么性質與應用？這就是《平面向量》的中心問題，也是本章的知識學習的固著點。向量的數量積是在向量的線性運算基礎上學習的一種新的運算，向量的線性運算是封閉性運算，而向量的數量積運算是不封閉性，運算的對象是二元的，而運算的結果又是一元的，這種運算的不封閉性對學生的認知造成了很大的失衡。3教學

3、案例分析教學案例分析筆者近期聽了兩堂關于“平面向量的數量積”的課，兩位老師的教學過程都分為五個環(huán)節(jié)：問題情境——抽象模型——辨析模型（內涵、外延）——模型性質（運算律）——數學應用，兩位老師都是以“問題”的形式來推動教學過程。本文結合其中的環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)四，來探究在教學中如何實現教學生“學會思考”。3.1環(huán)節(jié)一問題情境環(huán)節(jié)一問題情境【甲教師】【甲教師】師：（問題1）向量的運算有向量的加法、減法、數乘，叫做向量的線性運算，那么向量與向量能否

4、“相乘”呢？生：能。師：向量與向量“相乘”這種運算怎么定義呢？生：應該不是線性運算。師：為什么？生：老師，向量的加法、減法、數乘，叫做向量的線性運算，向量與向量“相乘”沒有和它們放在一起學，那肯定和它們不一樣了。師：怎么個不一樣法？生：師：我們是怎么得到向量的線性運算的，它的結果是什么？生：是通過將實際生活中，物理中的矢量的合成與分解，速度在某時間段的位移抽象出來的，得到的結果還是向量。師：那你想一想，向量與向量“相乘”的結果是什么呢？

5、生：那應該不是向量了。師：結果不是向量那只能是什么？生：數數量（不是很肯定）師（點頭）：是數量，那我們在實際生活中有這樣的物理背景嗎？生：做功，力做功的結果就是標量，是一個數。師：好，那我們來分析這個物理背景?？纯磸那蠊Φ倪\算中可以抽象出什么樣的向量運算？現知識的“創(chuàng)造”過程，這個“創(chuàng)造”的過程，就是研究數學的一般方法。不僅僅向量可以這樣研究，許多別的知識也可以這樣研究，如函數、指數函數、三角函數、數列等。這種教學，不僅教了知識，也教會

6、了學生如何思考。3.2環(huán)節(jié)四向量數量積的運算律環(huán)節(jié)四向量數量積的運算律【甲教師】【甲教師】師：我們學習了向量的數量積，下面我們來學習向量的數量積的運算律。（問題3）實數的運算滿足哪些運算律呢？生：交換律、結合律、分配律。師：那請同學們類比一下，向量的數量積滿足交換律、結合律、分配律嗎？（學生計算、思考）3分鐘后，生：滿足交換律，不滿足結合律。師：滿足分配律嗎？生：應該滿足吧。師：為什么滿足分配律，說說理由，你能證明嗎？生：師：好，大家類

7、比一下實數的運算，應該是滿足分配律的?，F在大家還不會證明是因為我們沒有學向量的投影，現在我們來學習向量的投影。（教師開始介紹向量的投影）【乙教師】【乙教師】師：我們剛剛一種新的運算——向量的數量積，學習了一種運算后，下一步我們應該研究什么？生：研究它的性質。師：哪些性質？生：是否滿足運算的交換律、結合律、分配律？師：滿足嗎？（學生計算、思考）生：滿足交換律，不滿足結合律，分配律還不確定。師：怎么不能確定？生：不知道怎么證明。師：那怎么辦

8、？不會證明就沒辦法知道是否滿足分配律嗎？生：能不能先用特殊的向量試試看？師：對啊，你為什么不先試試看呢？（學生用特殊向量計算、驗證）生：滿足。師：為什么滿足？生：我用好幾個特殊的向量驗證后都滿足了。師：那不特殊的向量也滿足嗎？你的結論具有一般性嗎？生：那得證明后才能知道了。師：好，那我們下面就來證明這個結論?！窘虒W意圖】【教學意圖】甲教師：教師通過設問，引導學生通過類比實數的運算律，證明向量的數量積所滿足的運算律。乙教師：引導學生回顧學