第8章常微分方程

1、第8章　常微分方程,實(shí)際中，很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型都是微分方程。我們可以研究它們的一些性質(zhì)。但是，只有極少數(shù)特殊的方程有解析解。對(duì)于絕大部分的微分方程是沒(méi)有解析解的。,常微分方程作為微分方程的基本類型之一，在自然界與工程界有很廣泛的應(yīng)用。很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述都可以歸結(jié)為常微分方程的定解問(wèn)題。很多偏微分方程問(wèn)題，也可以化為常微分方程問(wèn)題來(lái)近似求解。,本章討論常微分方程的數(shù)值解法,對(duì)于一個(gè)常微分方程：,通常會(huì)有無(wú)窮個(gè)解。如：,因此，我們要加入一個(gè)

2、限定條件。通常會(huì)在端點(diǎn)出給出，如下面的初值問(wèn)題：,為了使解存在唯一，一般，要加限制條件在f上，要求f對(duì)y滿足Lipschitz條件：,常微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，但是，計(jì)算機(jī)沒(méi)有辦法對(duì)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)的近似值。,例：我們對(duì)區(qū)間做等距分割：,設(shè)解函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的近似為,由數(shù)值微分公式，我們有,，則：,向前差商公式,可以看到，給出初值，就可以用上式求出所有的,基本步驟如下：,③ 解差

3、分方程，求出格點(diǎn)函數(shù),① 對(duì)區(qū)間作分割：,求y(x)在xi上的近似值yi。,稱為分割,上的格點(diǎn)函數(shù),數(shù)值方法，主要研究步驟②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性質(zhì)。,這種方法 ，稱為數(shù)值離散方法。求的是在一系列離散點(diǎn)列上，求未知函數(shù)y在這些點(diǎn)上的值的近似。,我們的目的，就是求這個(gè)格點(diǎn)函數(shù),為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實(shí)用價(jià)值，需要知道如下幾個(gè)結(jié)論：,① 收斂性問(wèn)題,② 誤差估計(jì),③ 穩(wěn)定性問(wèn)題,步長(zhǎng)充分小時(shí)，所得到的數(shù)值

4、解能否逼近問(wèn)題的真解；,舍入誤差，在以后各步的計(jì)算中，是否會(huì)無(wú)限制擴(kuò)大；,,8.1 Euler公式,做等距分割，利用數(shù)值微分代替導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，建立差分方程。,1、向前差商公式,所以，可以構(gòu)造差分方程,稱為局部截?cái)嗾`差。顯然，這個(gè)誤差在逐步計(jì)算過(guò)程中會(huì)傳播，積累。因此還要估計(jì)這種積累,,,,,,,,,記為,2、收斂性,考察局部誤差的傳播和積累,稱為整體截?cái)嗾`差,,是1階方法,3、穩(wěn)定性－誤差在以后各步的計(jì)算中不會(huì)無(wú)限制擴(kuò)大。,我們考慮簡(jiǎn)單情況：

5、僅初值有誤差，而其他計(jì)算步驟無(wú)誤差。,設(shè),是初值有誤差后的計(jì)算值，則,所以，我們有：,可以看出，向前差商公式關(guān)于初值是穩(wěn)定的。當(dāng)初始誤差充分小，以后各步的誤差也充分小,4、向后差商公式,是隱格式，要迭代求解,可以由向前差商公式求出,5、中心差商公式,是多步，2階格式，該格式不穩(wěn)定,6、梯形法－基于數(shù)值積分的公式,對(duì)微分方程,做積分，則：,類似，可以算出其誤差估計(jì)式：,2階的方法,所以，有格式為：,是個(gè)隱式的方法，要用迭代法求解,局部截?cái)?/p>

6、誤差,? 基于數(shù)值積分的構(gòu)造法,,若積分,用節(jié)點(diǎn),作為積分點(diǎn)，則,,積分系數(shù),這是顯格式，q+1階r+1步格式。r=max{p,q},若以xn+1, xn+1,…, xn-q+1 為積分節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)造r+1步q+1階隱格式,局部截?cái)嗾`差,例：建立p=1,q=2的顯格式,p=1，,q=2，顯格式，,積分區(qū)間為,積分節(jié)點(diǎn)為,所以,誤差分析,,例：建立p=2,q=2的隱格式,p=2，,q=2，隱格式，,積分區(qū)間為,積分節(jié)點(diǎn)為,所以,它的截?cái)嗾`

7、差較 顯格式 小，通常也具有更好的穩(wěn)定性。,? Adams公式 －－ p=0 時(shí)候的多步法,參見(jiàn)書,線性多步法,用若干節(jié)點(diǎn)處的 y 及 y’ 值的線性組合來(lái)近似y(xn+1)。,其通式可寫為：,,當(dāng) ??1?0 時(shí)，為隱式公式; ??1=0 則為顯式公式。,,由Taylor展開(kāi),記為,所以，可以構(gòu)造格式,這種格式使用到了各階偏導(dǎo)數(shù)，使用不便。,如何起步？如何得到高精度、單步的格式？,從另一個(gè)角度看，,取(xn,y(xn))及其附近的

8、點(diǎn)做線性組合，表示F，問(wèn)題就好辦了。當(dāng)然，要求此時(shí)的展開(kāi)精度相同。這種方法稱為Runge－Kutta法,8.2 Runge－Kutta法,,在(xn,y(xn))處展開(kāi)，,比較,以2階為例，設(shè),有：,1、改進(jìn)的Euler公式,2、Heun公式,一般的Runge－Kutta法構(gòu)造,常見(jiàn)的為3階，4階公式,? 最常用為四級(jí)4階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法 ：,Lab07 常微分方程,3.用如上程序求常微分方程,分別取步長(zhǎng)h=0.1,0.1/2,0.

9、1/4,0.1/8計(jì)算y(1.5)，并與精確解比較,1.經(jīng)典4階Runge-Kutta方法解常微分方程的通用程序,2.Adams隱式3階方法解常微分方程的通用程序(由1提供初值),4.給出誤差和誤差階。簡(jiǎn)單分析數(shù)據(jù),Sample Output (? represents a space)Runge-Kutta法，誤差和誤差階為k=0?,?0.244934066848e00k=1?,?0.534607244904e-01, 3.

10、90...Adams隱格式，誤差和誤差階為k=0?,?0.244934066848e00k=1?,?0.534607244904e-01 , 3.01...,§8.4 方程組和高階方程的數(shù)值解法,寫成向量的形式：,各種方法都可以直接運(yùn)用過(guò)來(lái)。,Euler公式,以兩個(gè)方程的方程組為例,Runge-Kutta公式,,1、,2、確定方法，然后求解,（0.20276 0.0881157）（0.213007 0.0

11、934037）（0.223763 0.0988499）（0.235052 0.104437）（0.246902 0.110146）,4階Runge-Kutta法，h=1,高階方程,則有：,令,例：考察初值問(wèn)題 在區(qū)間[0, 0.5]上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。,1.0000?2.0000 4.0000?8.0000

12、1.6000?101 ?3.2000?101,1.00002.5000?10?1 6.2500?10?21.5625?10?23.9063?10?39.7656?10?4,1.00002.50006.25001.5626?1013.9063?1019.7656?101,1.00004.9787?10?22.4788?10?31.2341?10?46.1442?10?63.0590?10?7,出了什么問(wèn)題

13、 ??!,§8.5 差分方程的絕對(duì)穩(wěn)定性,顯然，這個(gè)誤差不僅于差分格式有關(guān)，而且與微分方程本身有關(guān)。如果微分方程本身是不穩(wěn)定，那就沒(méi)理由要求這2組解充分接近。因此，差分方程的穩(wěn)定性概念是建立在微分方程穩(wěn)定的基礎(chǔ)上的。,考慮最簡(jiǎn)單的模型：只有初值產(chǎn)生誤差，看看這個(gè)誤差的傳播。,把這個(gè)典型微分方程規(guī)定為：,差分方程運(yùn)用到如上的微分方程后，可以得到,對(duì)于給定的初始誤差,，誤差方程具有一樣的形式,對(duì)于一般的差分方程,定義：差分方程稱為