導數及其應用基礎練習

1、導數及其應用強化練習導數及其應用強化練習題型一題型一導數意義及應用導數意義及應用例11在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為________答案(1)(－215)解析(1)因為y′＝3x2－10，設P(x，y)，則由已知有3x2－10＝2，即x2＝4，∴x＝2，又∵點P在第二象限，∴x＝－2.則y＝(－2)3－10(－2)＋3＝15，∴點P坐標為

2、(－215)例12(2013福建)已知函數f(x)＝x－alnx(a∈R)(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；(2)求函數f(x)的極值解函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.ax(1)當a＝2時，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x0)，2x因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2

3、)由f′(x)＝1－＝，x0知：axx－ax①當a≤0時，f′(x)0，函數f(x)為(0，＋∞)上的增函數，函數f(x)無極值；②當a0時，由f′(x)＝0，解得x＝a.又當x∈(0，a)時，f′(x)0，從而函數f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值綜上，當a≤0時，函數f(x)無極值；當a0時，函數f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值變式訓練變式訓練1(1)(2013湖北)直線y＝2

4、x＋b是曲線y＝lnx(x0)的一條切線，則實數b＝________.答案－ln2－1解析切線的斜率是2，根據導數的幾何意義可以求出切點的橫坐標，進而求出切點的坐標，切點在切線上，代入即可求出b的值y′＝，令＝2，得x＝，故切點為1x1x12，代入直線方程，得ln＝2＋b，所以b＝－ln2－1.(12，ln12)1212題型二題型二利用導數研究函數的單調性利用導數研究函數的單調性例2已知函數f(x)＝x2＋alnx.(1)當a＝－2時，

5、求函數f(x)的單調遞減區(qū)間；所以，f(x)的單調增區(qū)間是，(－∞，2－1a)f(x)的單調減區(qū)間是.(2－1a，2)題型三題型三利用導數研究函數的極值利用導數研究函數的極值(最值最值)例3已知函數f(x)＝x2＋lnx.12(1)求函數f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；(2)求證：在區(qū)間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)＝x3的圖象的下方23審題破題(1)f(x)在閉區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值要么在端點處

6、取得，要么在極值點處取得所以首先要研究f(x)在[1，e]上的單調性(2)f(x)的圖象在函數g(x)＝x3的圖象的下方，即g(x)－f(x)在(1，＋∞)上恒大于0.23(1)解當x∈[1，e]時，f′(x)＝x＋0，1x所以f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數所以當x＝1時，f(x)取得最小值；12當x＝e時，f(x)取得最大值e2＋1.12(2)證明設h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－lnx，x∈[1，＋∞)，2312則h′

7、(x)＝2x2－x－＝1x2x3－x2－1x＝.?x－1??2x2＋x＋1?x當x∈(1，＋∞)時，h′(x)0，h(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數，所以h(x)h(1)＝0.16所以對于x∈(1，＋∞)，g(x)f(x)成立，即f(x)的圖象在g(x)的圖象的下方變式訓練變式訓練3(2013廣東)設函數f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)(1)當k＝1時，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)當k∈時，求函數f(x)在[0，k]上的