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1、解析幾何A1,A2是橢圓x^29y^4=1長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)P1P2是垂直于A1A2的弦的兩端點(diǎn)求A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡2008年二輪復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)方法講解:5、交軌法一般用于求二動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程其過(guò)程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù),求出二動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式,再消去參數(shù),即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程例1.設(shè)A1、A2是橢圓=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn),P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn),則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為()A.B.
2、C.D.解析:設(shè)交點(diǎn)P(xy)A1(-30)A2(30)P1(x0y0)P2(x0-y0)∵A1、P1、P共線,∴∵A2、P2、P共線,∴解得x0=答案:C例2.如右圖,給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線l:x=-1B是直線l上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于C求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系依題意,記B(-1,b)(b∈R),則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx設(shè)點(diǎn)C(x,y),則有0≤x<a,由O
3、C平分∠AOB,知點(diǎn)C到OA、OB距離相等根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得依題設(shè),點(diǎn)C在直線AB上,故有將②式代入①式得整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0,若y≠0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);若y=0,則b=0,∠AOB=π,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0),滿足上式綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)(i)當(dāng)a=1時(shí),軌跡方程化為y2=x(0≤x<1)③此
4、時(shí),方程③表示拋物線弧段;(ii)當(dāng)a≠1時(shí),軌跡方程為所以,當(dāng)0<a<1時(shí),方程④表示橢圓弧段;當(dāng)a>1時(shí),方程④表示雙曲線一支的弧段例3.已知橢圓=1(a>b>0)點(diǎn)P為其上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn),∠F1PF2的外角平分線為l,點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求R形成的軌跡方程;.解:(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接PQ,∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|
5、又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線,故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上,設(shè)存在R(x0y0)Q(x1y1)F1(-c0)F2(c0).|F1Q|=|F2P||PQ|=|F1P||PF2|=2a則(x1c)2y12=(2a)2.3a^2=7a^2=4橢圓方程為:x^24y^2=1這道題我做2種方法,有2種解,是怎么回事?(1)可知a=2b設(shè)m(acosθ,bsinθ)則m(2bcosθbsinθ)|MP|^2=(2bcosθ)^2(32bsin
6、θ)^23b^2[(sinθ1)2b]^24b^294≤7當(dāng)sinθ1=0時(shí),原式得最大值4b94=7b=198問(wèn)題補(bǔ)充:?jiǎn)栴}補(bǔ)充:從橢圓從橢圓x^2a^2y^2b^2=1的右焦點(diǎn)向它的動(dòng)切線引垂線的右焦點(diǎn)向它的動(dòng)切線引垂線求垂足的軌跡方程求垂足的軌跡方程.設(shè)切點(diǎn)為Q(acosθbsinθ)則橢圓切線QP為(acosθ)xa^2(bsinθ)yb^2=1→(bcosθ)x(asinθ)y=ab……(1)過(guò)右焦點(diǎn)F2(c0)垂直于切線PQ
7、的直線F2P為(asinθ)x(bcosθ)y=acsinθ……(2)顯然垂足P滿足(1)、(2).由(1)^2(2)^2得(x^2y^2)[(asinθ)^2(bcosθ)^2]=a^2[b^2(csinθ)^2]=a^2[b^2(a^2b^2)(sinθ)^2]=a^[(bcosθ)^2(asinθ)^2]注意到(bcosθ)^2(asinθ)^2不為0∴x^2y^2=a^2即垂足P的軌跡方程:x^2y^2=a^2.用定義法好像比這
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