一類非線性積分方程組解的正則性和對稱性

1、分 類 號： 0175.2 密 級：學校代碼： 10414 學 號：2009010838碩士研究生學位論文 碩士研究生學位論文一類非線性積分方程組解的正則性和對 一類非線性積分方程組解的正則性和對 一類非線性積分方程組解的正則性和對 一類非線性積分方程組解的正則性和對 稱性 稱性 稱性 稱性Regularity Regularity Regularity Regularity and and and and symmetry symme

2、try symmetry symmetry of of of of positive positive positive positivesolutions solutions solutions solutions of of of of nonlinear nonlinear nonlinear nonlinear integral integral integral integralsystems systems systems

3、systems姚旺河 姚旺河 姚旺河 姚旺河院 所：數(shù)學與信息科學學院 導師姓名：楊健夫學科專業(yè)：基礎數(shù)學 研究方向：偏微分方程二○一二 年 四 月一類非線性積分方程組解的正則性和對稱性摘 要本文主要研究了積分方程組u(x) =∫Rn Kα(x ? y)v(y)q|y|β dy, v(x) =∫Rn Kα(x ? y)u(y)p|y|β dy x ∈ Rn,正解的正則性和對稱性,其中Kα是算子(??)α + id的核,并且0 ≤ β

4、n?2α+βn . 本文共分四章. 在第一章中,我們介紹了本文積分方程組的研究背景和主要結果, 以及在做積分 方程組解的正則性和對稱性時所遇到的困難, 敘述克服這些困難的方法以及主要結 果.在第二章中,我們研究了如下帶雙權的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式: 若0 β + τ > n(1 ? 1p ? 1q).則存在與f ∈ Lp(Rn) 及g ∈ Lq(Rn)無關的常數(shù)C,使得以下不等式成立? ? ? ?

5、∫Rn∫Rnf(x)Kα(x ? y)h(y)|x|τ|y|β dxdy? ? ? ? ≤ C∥f∥p∥h∥q.此外,令Th(x) =∫RnKα(x ? y)h(y)|x|τ|y|β dy,則∥Th∥p′ = sup∥f∥p=1|?Th, f?| ≤ C∥h∥q,其中 1p + 1p′ = 1, 1 + 1p′ ≥ 1q + n?2α+β+τn 及h ∈ Lq(Rn).在第三章中,研究方程組正解的正則性.我們證明了積分方程組的解是有L∞