線性變換思想在中學數(shù)學中的應用

1、第 1 頁（ 共 18 頁）線性變換思想在中學數(shù)學中的應用摘 要： 要：本文首先給出了線性變換的定義以及中學數(shù)學中涉及到的幾種特殊的線性變換，包括其表達式及特征等。然后介紹了這幾種線性變換在中學幾何中的意義, 它是普通線性變換的一個自然推廣,同時研究了線性變換在幾何中的應用。最后,給出了具體實例說明了利用線性變換解決中學中平面幾何題的方法以及線性變換思想在中學數(shù)學中的影響。關(guān)鍵詞： 關(guān)鍵詞：線性變換 中學數(shù)學 幾何應用隨著社會的進步和時

2、代的發(fā)展，針對我國中學數(shù)學課程現(xiàn)狀，制定和實施新的課程標準勢在必行。2003 年頒布了《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱《標準》)。由參考文獻[1]、[2]、[3]、[4]可知：《標準》規(guī)定的課程與以往的課程相比，內(nèi)容上發(fā)生很大的變化，尤其在選修系列中，增加了矩陣與變換、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步、統(tǒng)籌法與圖論、風險與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等內(nèi)容，矩陣與變換是選修系列 4.2 的內(nèi)容。矩陣是代數(shù)學的基本內(nèi)容

3、之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一。對于中學數(shù)學教材改革來說，認真研究怎樣把應用廣泛的矩陣內(nèi)容融入代數(shù)教材，以及如何進一步用變換的觀念來處理幾何教材，最終用矩陣來表示線性變換可以更有效地學習和運用這部分知識。中學數(shù)學引入矩陣初步知識，主要是為表達數(shù)據(jù)提供新的工具。矩陣作為研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應用，許多數(shù)學模型都可以用矩陣來表示。由矩陣建立的線性變換就是平面上的坐標變換，其中，矩陣起著“對應法則”的作用，用二階矩陣 確

4、定的變換, a bc d? ?? ? ? ?就是構(gòu)造映射,使平面上的點(向量) 變成(對應)點(向量) = ,這個映射 xy? ? ? ? ? ?11xy? ?? ? ? ?a bc d? ?? ? ? ?xy? ? ? ? ? ?第 3 頁（ 共 18 頁）角度來看，大學的線性變換是把它作為代數(shù)的運算法則，對線性方程組與線性空間的運算，而中學課程標準把線性變換看作是幾何變換的表示方法；從研究的內(nèi)容來看，大學研究的是代數(shù)的運算性質(zhì)，概念

5、理論較為抽象，運算量大，容量較多，而中學課程標準研究的是線性變換的幾何作用，通過大量的實例來討論線性變換的性質(zhì)和作用，只限于討論平面內(nèi)的變換，從直觀上認識線性變換的意義。矩陣與變換(選修系列 4.2)這部分內(nèi)容在大學的代數(shù)課程中會系統(tǒng)地講授。而中學開設(shè)這門選修課的目的，是要求學生了解其基本的思想、概念(當然，這里不是只講故事也不是讀科普讀物，應要求學生做習題，要有所練習，有所收獲)。不是把大學教材簡單下放，更不是去做一些難題，怪題(作為

6、選修系列 4 的課程，有更多的開放性，給學生更多的思索空間，但其思索的問題不是大學中更艱深的內(nèi)容或難題、怪題)。在中學不是訓練數(shù)學上的一些細致的技巧和方法，而是希望學生對線性變換等有一個初步了解，對將來進一步學習和工作有所幫助。特別是學理工科的學生，到大學還將系統(tǒng)地學習這方面的知識，中學的內(nèi)容盡管是重要的，但還是遠遠不夠的。2 中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換2.1 中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換式及其二階矩陣2.1.1 對稱變換(

7、1)關(guān)于 軸對稱的變換坐標公式為 ，其對應的二階矩陣為 ； x'' x xy y? ?? ? ? ?1 00 1? ?? ? ? ? ?(2)關(guān)于 軸對稱的變換坐標公式為 ，其對應的二階矩陣為 ； y''x xy y? ? ?? ? ?1 00 1? ? ?? ? ? ?(3)關(guān)于 對稱的變換坐標公式為 ，其對應的二階矩陣為 . y x ?''x yy x? ?? ? ?0 11 0? ?