高中數學2019-2020學年度高三數學一輪復習向量系列之平面向量的分解定理三

1、 高中數學 高中數學 2019-2020 2019-2020 學年度高三數學一輪復習 學年度高三數學一輪復習向量系列之 向量系列之平面向量分解定理 平面向量分解定理 -4教學目標 教學目標理解和掌握平面向量的分解定理，能寫出任一向量關于給定兩不平行的向量的分解式，并能夠利用平面向量分解定理去解一些復雜的題。

2、【解讀：主要是讓學生會用兩個不平行向量表示題目中給定向量。 【解讀：主要是讓學生會用兩個不平行向量表示題目中給定向量。 】知識梳理 知識梳理 1、平面向量分解定理： 、平面向量分解定理：如果 如果 是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任意向量 是同一平面內的兩個不平行向量，那么

3、對于這一平面內的任意向量 ，有且只有 ，有且只有一對實數 一對實數 2 1,e e a 2 1,? ?，使 ，使 .我們把不平行的向量 叫做這一平面內所有向量的一組基. 2 2 1 1 e e a ? ? ? ? 2 1,e e注意： 注意：[來源 來源:Zxxk.Com] :Zxxk.Com]（1）基底不共線；（2）將任一向量 在給出基底 、 的條件下進行分解；[來源:學+科+網 Z+X+X+K] a1 e ? ?2 e ? ? ?

4、（3）基底給定時，分解形式唯一， 是被 ， ， 唯一確定的數量[來.源:學科網.. 1 2 , ? ? a 1 e ? ?2 e ? ? ?幾何角度證明： 幾何角度證明：【通過作圖舉例給學生講解】 【通過作圖舉例給學生講解】如圖，在平面內取一點 O，作 ， ， ，再作直線 OA、OB . OA a ???? ? ?OB b ???? ? ?OC c ???? ? ?設點 C 不在直線 OA 和 OB 上，過點 C 分別作直線 O

5、A、OB 的平行線，由于向量 不平行，可知所作兩 , a b ? ?直線分別與直線 OB、OA 有唯一的交點，記為 N、M. 作向量 、 . OM ???? ?ON ????因為 ，所以存在唯一的實數 ，使 . / / OM a???? ? ?x OM xa ????? ? ?因為 ，所以存在唯一的實數 ，使 . / / ON b???? ?y ON yb ????? ?而四邊形 OMCN 是平行四邊形，因此 . OC OM ON

6、xa yb ? ? ? ???? ? ???? ? ???? ? ?即 . c xa yb ? ?? ? ?如果點 C 在直線 OA 或 OB 上，那么 或.這時得 / / , c a? ?/ / c b? ?或 . 0 c xa xa b ? ? ?? ? ? ?0 c yb a yb ? ? ?? ? ? ?所以 關于 、的分解式總是確定的. c ?a ?b ?代數角度：證明唯一性： 數角度：證明唯一性：NMC0 ABO

7、N 的長度，重點是要讓學生學會畫圖來用兩個不平行向量線性表示第三個向量】 的長度，重點是要讓學生學會畫圖來用兩個不平行向量線性表示第三個向量】變式練習： 變式練習：1. （★★★） （★★★）已知三個向量 、 、 ，其中每兩個之間的夾角為 120°，若 =3, =2, =1，則 用 、 表 a ? b ?c ? a ? b ?c ? a ? b ?c ?示為 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭ht

8、tp://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 解： 解： 3 3 2 a c b ? ? ?? ? ?【重點是要讓學生學會畫圖來用兩個不平行向量表示第三個向量】 【重點是要讓學生學會畫圖來用兩個不平行向量表示第三個向量】例 2. （★★★） （★★★）在平行四邊形 ABC

9、D 中，AC 與 BD 交于點 O，E 是線段OD 的中點，AE 的延長線與 CD 交于點 F.若 ＝ ， ＝ ，則 AC ??? ?a ?BD ??? ?b ?＝ ( B ) AF ??? ?A. ＋B. ＋C. ＋D. ＋14 a? 12b? 23 a? 13b? 12 a? 14b? 13 a? 23b?解：如圖所示，由 解：如圖所示，由△DEF∽△ ∽△BEA 知,

10、 , 13DF DEAB EB ? ? 1 2 , 3 3 DF AB CF BA ? ? ????? ??? ? ??? ? ??? ?＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ AF ??? ?AC ??? ?CF ??? ?a ? 23 BA??? ?a ?? 23? ? BO OA ???? ? ??? ?a ?? 231 12 2 BD CA ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ?＝ ＋ ( － ) ＝ ＋ . a ? 13 b?

11、a ? 23 a? 13b?例 3. （★★★★） （★★★★）如圖，在 中，點 是 的中點，過點 的直線分別交直線 ， 于不同的 ABC △ O BC O AB AC兩點 ，若 ， ，則 的值為_______ M N ， AB mAM ???? ? ???? ?AC nAN ???? ? ????m n ?解：方法一： 解：方法一： 1 1 , 2 2 2 2m n AO AB AC AM AN ? ? ? ???? ? ??? ?

12、 ??? ? ???? ? ????又 三點共線， 三點共線， 同一個起點， 同一個起點， , , M O N , , AO AM AN ??? ? ???? ? ????，即 ，即 1 2 2m n ? ? ? 2. m n ? ?方法二：易知 方法二：易知 1 1 , 2 2 2 2m n AO AB AC AM AN ? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ????1 1 1 1 2 , 2 2 2 2m

13、MO AO AM AB AC AB AC AB m m? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?1 1 , MN AN AM AC AB n m ? ? ? ????? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ?又 , MN AB???? ? ??? ?平行于，2 12 2 1 1mmn m? ?? ??2. m n ? ?【該題考查向量的