導(dǎo)數(shù)壓軸題雙變量問(wèn)題方法歸納總結(jié)教師版

1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用之雙變量問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用之雙變量問(wèn)題（一）構(gòu)造齊次式，換元 （一）構(gòu)造齊次式，換元 【例】（2020 年河南高三期末）已知函數(shù) ? ?2 ln f x x ax b x ? ? ? ，曲線 ? ? y f x ? 在點(diǎn) ? ? ? ? 1, 1 f 處的切線方程為 2 y x ? .（1）求實(shí)數(shù) , a b的值；（2）設(shè) ? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 , , 0 F x f x x mx m R x x x x

2、? ? ? ? ? ? 分別是函數(shù) ? ? F x 的兩個(gè)零點(diǎn)，求證： ? ? 1 2 0 F x x ? ? .【解析】（1） 1, 1 a b ? ? ? ；（2） ? ?2 ln f x x x x ? ? ? ， ? ? ? ? 1 ln F x m x x ? ? ? ，? ? 1 1 F x m x? ? ? ?，因?yàn)?1 2 , x x 分別是函數(shù) ? ? F x 的兩個(gè)零點(diǎn)，所以? ?? ?1 12 21 ln1 lnm

3、 x xm x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 兩式相減，得1 21 2ln ln 1 x x m x x? ? ? ? ， ? ?1 21 21 2 1 2 1 2ln ln 1 1 1 x x F x x m x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ，要證明 ? ? 1 2 0 F x x ? ? ，只需證1 21 2 1 2ln ln 1 x xx x x x? ? ? . 思路一

4、： 思路一：因?yàn)?1 2 0 x x ? ? ，只需證1 2 1 11 22 2 1 2 121 ln ln ln 0 x x x x x x x x x x xx? ? ? ? ? ? ?.令? ? 120,1 x t x ? ?，即證1 2ln 0 t t t ? ? ?. 令? ? ? ? 1 2ln 0 1 h t t t t t ? ? ? ? ?，則? ? ? ?22 2 1 2 1 1 0 t h t t t t? ?

5、? ? ? ? ? ?，所以函數(shù) ? ? h t 在? ? 0,1 上單調(diào)遞減， ? ? ? ? 1 0 h t h ? ? ，即證1 2ln 0 t t t ? ? ?.由上述分析可知 ? ? 1 2 0 F x x ? ? .【規(guī)律總結(jié)】這是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，此類問(wèn)題往往利用換元把 1 2 , x x 轉(zhuǎn)化為 t 的函數(shù)，常把 1 2 , x x 的關(guān)系變形為齊次式，設(shè)1 2 1 11 22 2, ln , , x x x x t t

6、 t x x t e x x? ? ? ? ? ?等，構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決，可稱之為構(gòu)造比較函數(shù)法.先根據(jù)極值點(diǎn)解得 a，再代入化簡(jiǎn)不等式 x1x2＜a2，設(shè) ，構(gòu)造一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)21xx t ?性，最后構(gòu)造單調(diào)性證明不等式.【解析】 （1）∵函數(shù) ，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，? ? ? ?2 1 f x x xlnx x 2 R 2 a a a ? ? ? ? ?∵函數(shù) 有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) x1，x2，且 x1＜x

7、2．? ? ? ?2 1 f x x xlnx x 2 R 2 a a a ? ? ? ? ?∴f′（x）=x-alnx=0 有兩個(gè)不等根，令 g（x）=x-alnx，則 = ， （x＞0） ，? ? g' x 1 xa ? ? xxa ?①當(dāng) a≤0 時(shí)，得 g′（x）＞0，則 g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）在（0，+∞）上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng) a＞0 時(shí)，由 g′（x）＞0，解得 x＞a，由 g′（x）＜0，

8、解得 0＜x＜a，則 g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，要使函數(shù) g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則 g（a）=a-alna＜0，解得 a＞e，∴實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（e，+∞） ．（2）由 x1，x2 是 g（x）=x-alnx=0 的兩個(gè)根，則 ，兩式相減，得 a（lnx2-lnx1）=x2-x1） ，2 21 1lnx xlnx xaa? ? ? ? ?即 a= ，即證 x1x2＜ ，即證 = ，2 12 1x xl