2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)及其 及其應(yīng)用 應(yīng)用的習(xí)題 的習(xí)題 一.要點(diǎn)梳理 一.要點(diǎn)梳理 1.f′(x)>0 在(a, b)上成立是 f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增的充分條件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便, 但應(yīng)注意 f′(x)>0(或 f′(x)0)內(nèi)的最大值和最小值. 解 : 1)f ′ (x) = 3x2 + 2ax , 由 已 知 條 件? ? ? ? ?f(1)=0f′(1)=-3, 即? ? ? ? ?a+

2、b+1=02a+3=-3 , 解 得? ? ? ? ?a=-3b=2 .(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).f′(x)與 f(x)隨x 變化情況如下: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 增 2 減 -2 增 由 f(x)=f(0),解得 x=0,或 x=3.因此根據(jù) f(x)圖象,當(dāng) 03 時(shí),f

3、(x)的最大值為 f(t)=t3-3t2+2,最小值為 f(2)=-2. 題型三: 題型三:已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍 例 3 已知函數(shù) f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.(1)當(dāng) a=16時(shí),求 f(x)的極值;(2)若 f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),求 a 的取值范圍. 解:(1)f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1).當(dāng) a=16時(shí),f′(x)=2(x+2)(x-1)2, ∴f(x)

4、在(-∞,-2]內(nèi)單調(diào)遞減,在[-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng) x=-2 時(shí),f(x)有極小 值. ∴f(-2)=-12 是 f(x)的極小值. (2)在(-1,1)上 f(x)是增函數(shù), 由此可得在(-1,1)上,f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0,∴3ax2+3ax-1≤0. ①令 g(x)=3ax2+3ax-1 (-10 時(shí),若①成立,根據(jù)二次函數(shù) g(x)=3ax2+3ax-1 (-1<x<1)的圖象,

5、只需滿足 g(1)=3a×12+3a×1-1≤0,即 a≤16,∴0<a≤16;③當(dāng) a<0 時(shí),若①成立,根據(jù)二次函數(shù) g(x)=3ax2+3ax-1 (-1<x<1)的圖象,只需滿足g? ? ?? ? ? -12 =3a×? ? ?? ? ? -122+3a×? ? ?? ? ? -12 -1≤0, 即 a≥-43, ∴-43≤a<0. 綜上所述, f(x)在(-

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