基本不等式習(xí)題教師版

1、基本不等式 基礎(chǔ)梳理 1．基本不等式： ab≤a＋b2 (1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) a＝b 時取等號． 2．幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b 同號)；(3)ab≤? ? ? ? a＋b22(a，b∈R)；(4)a2＋b22 ≥? ? ? ? a＋b22(a，b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè) a＞0，b＞0，則 a，b 的算術(shù)

2、平均數(shù)為a＋b2 ，幾何平均數(shù)為 ab，可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)． 4．利用基本不等式求最值問題 已知 x＞0，y＞0，則 (1)如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) x＝y(tǒng) 時，x＋y 有最小值是 2 p.(簡記：積定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) x＝y(tǒng) 時，xy 有最大值是p24.(簡記：和定積最大) 一個技巧 用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 用公

3、式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2＋b2≥2 ≥2ab ab 逆用就是 逆用就是 ab ab≤a2＋b22 ；a＋b2 ≥ ab ab(a，b＞0) 0)逆用就是 逆用就是ab≤? ? ? ? a＋b22(a，b＞0)等．還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等． 兩個變形 (1)a2＋b22 ≥? ? ? ? a＋b22≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng) a＝b 時取等號)； (2) a2＋b22 ≥a＋b

4、2 ≥ ab≥ 21a＋1b(a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng) a＝b 時取等號)． 這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們． 三個注意 (1)用基本不等式求最值，失誤的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不 可． (2)在運(yùn)用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件． (3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存

5、在且一致． 雙基自測 1．(人教 A 版教材習(xí)題改編)函數(shù) y＝x＋1x(x＞0)的值域為 A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析 ∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng) x＝1 時取等號．答案 C 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋ 1x2＋1≥1，其中正確的個數(shù)是( )．A．0 B．1 C．2 D．3 解析 ①②不正確，③

6、正確，x2＋ 1x2＋1＝(x2＋1)＋ 1x2＋1－1≥2－1＝1. 答案 B 3．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－2＝0，則 ab 的最大值為( )．A.12 B．1 C．2 D．4 解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2， ∴a＋2b＝2≥2 2ab，即 ab≤12. 答案 A 4．(2011·重慶)若函數(shù) f(x)＝x＋ 1x－2(x＞2)在 x＝a 處取最小值，則 a＝(

7、) A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 解析 當(dāng) x＞2 時，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋ 1x－2＋2≥2 x－2 × 1x－2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng) x－2＝ 1x－2(x＞2)，即 x＝3 時取等號，即當(dāng) f(x)取得最小值時，x＝3，即 a＝3. 答案 C 5．已知 t＞0，則函數(shù) y＝t2－4t＋1t 的最小值為________． 解析 ∵t＞0，∴y＝t2－4t＋1t ＝t＋

8、1t－4≥2－4＝－2，當(dāng)且僅當(dāng) t＝1 時取等號． 答案 －2 考向一 利用基本不等式求最值 【例 1】?(1)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝1，則1x＋1y的最小值為________；(2)當(dāng) x＞0 時，則 f(x)＝ 2xx2＋1的最大值為________． [審]第(1)問把1x＋1y中的“1”代換為“2x＋y”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式． 解析 (1)∵x＞0

9、，y＞0，且 2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx ＋2x＋yy ＝3＋yx＋2xy ≥3＋2 2.當(dāng)且僅當(dāng)yx＝2xy 時，取等號． (1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)； (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值； (3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解． 【訓(xùn)練 3】東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為 10 萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價格為

10、 100 元，固定成本為 80 元．從今年起，工廠投入 100萬元科技成本．并計劃以后每年比上一年多投入 100 萬元科技成本．預(yù)計產(chǎn)量每年遞增 1 萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本 g(n)與科技成本的投入次數(shù) n 的關(guān)系是 g(n)＝ 80n＋1.若水晶產(chǎn)品的銷售價格不變，第 n 次投入后的年利潤為 f(n)萬元． (1)求出 f(n)的表達(dá)式；(2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？ 解 (1)第 n 次投入后，產(chǎn)量為(

11、10＋n)萬件，銷售價格為 100 元，固定成本為 80n＋1元，科技成本投入為 100n 萬元． 所以，年利潤為 f(n)＝(10＋n)??? ? 100－ 80n＋1 －100n(n∈N*)． (2)由(1)知 f(n)＝(10＋n)??? ? 100－ 80n＋1 －100n＝1 000－80??? ? n＋1＋ 9n＋1 ≤520(萬元)．當(dāng)且僅當(dāng) n＋1＝ 9n＋1， 即 n＝8 時，利潤最高，最高利潤為 520 萬元．所以，

12、從今年算起第 8 年利潤最高，最高利潤為 520 萬元． 忽視基本不等式成立的條件致誤 【問題診斷】利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn)，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使用時一定要注意這個條件，而有的考生對基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時出現(xiàn)多次使用不等式時等號成立的條件相矛盾., 【防范措施】盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應(yīng)保證兩次等號成立的條件同時相等. 【示例】?已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝

13、1，求1a＋2b的最小值． 錯因 兩次基本不等式成立的條件不一致． ∵a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，∴ab≤? ? ? ? a＋b22＝14.又1a＋2b≥2 2ab，而 ab≤14，∴ 1ab≥4，∴1a＋2b≥2 8＝4 2，故1a＋2b的最小值為4 2. 正解 ∵a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，∴1a＋2b＝? ? ? ? 1a＋2b (a＋b)＝1＋2＋ba＋2ab ≥3＋2 ba·2ab ＝3＋2 2. 當(dāng)且僅

14、當(dāng)? ? ? ? ?a＋b＝1，ba＝2ab ，即? ? ? ? ?a＝ 2－1，b＝2－ 2時，1a＋2b的最小值為 3＋2 2. 【試一試】 (2010·四川)設(shè) a＞b＞0，則 a2＋ 1ab＋ 1a a－b 的最小值是( )．A．1 B．2 C．3 D．4 a2＋ 1ab＋ 1a a－b ＝a2－ab＋ab＋ 1ab＋ 1a a－b ＝a(a－b)＋ 1a a－b ＋ab＋ 1ab≥2

15、 a a－b · 1a a－b ＋2 ab· 1ab ＝2＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng) a(a－b)＝ 1a a－b 且 ab＝ 1ab， 即 a＝2b 時，等號成立． 答案 D 18.已知二次函數(shù)2 ( ) ,( , , ) f x ax bx c a b c R ? ? ? ? 滿足：對任意實(shí)數(shù) x ,都有 ( ) f x x ? ，且當(dāng) x ?（1，3）時，有2 1 ( ) ( 2) 8 f x x ? ?成立.

16、 （1）求 (2) f ; （2）若 ( 2) 0, ( ) f f x ? ? 的表達(dá)式; （3）設(shè)( ) ( ) 2m g x f x x ? ?[0, ) x? ?? ，若 ( ) g x 圖上的點(diǎn)都位于直線14 y ?的上方，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍. 解： （1）由條件知 2 2 4 ) 2 ( ? ? ? ? c b a f 恒成立 又∵取 x=2 時，2 ) 2 2 ( 81 2 4 ) 2 ( 2 ? ? ? ?

17、? ? c b a f與恒成立∴ 2 ) 2 ( ? f（2）∵ ?? ?? ? ?? ? ?0 2 42 2 4c b ac b a∴ , 1 2 4 ? ? ? b c a∴a c b 4 1 , 21 ? ? ?又 x x f ? ) ( 恒成立，即 0 ) 1 ( 2 ? ? ? ? c x b ax 恒成立∴0 ) 4 1 ( 4 ) 1 21 ( , 0 2 ? ? ? ? ? ? ? a a a， 解出： 21 ,