雙曲和四階方程間斷有限元方法的超收斂性與誤差估計.pdf

1、間斷有限元方法是一類數(shù)值求解只含有一階空間導(dǎo)數(shù)的雙曲守恒律方程的有限元方法。局部間斷有限元方法作為間斷有限元方法的推廣,其適用于高階方程的求解。間斷有限元方法和局部間斷有限元方法是近年來提出和發(fā)展的高階精度高分辨率的數(shù)值算法。這體現(xiàn)在:一方面,在解的光滑區(qū)域,得到對真解的任意高階精度的數(shù)值逼近;另一方面,通過采用合適的限制器(如近年來提出和發(fā)展的加權(quán)本質(zhì)無振蕩限制器),使得在間斷解(包括激波和接觸間斷)附近,得到陡峭且無振蕩的間斷過渡。

2、
　　本文主要研究幾類時間相關(guān)偏微分方程的間斷有限元和局部間斷有限元方法的超收斂性和誤差估計。超收斂性能夠有效保證間斷有限元解與真解的誤差在很長一段時間內(nèi)不會增長;尤其對很密的網(wǎng)格,該性質(zhì)體現(xiàn)的更為明顯,表明了間斷有限元方法對波的分辨能力。本文給出了一類線性四階方程的局部間斷有限元方法和非線性雙曲守恒律方程的間斷有限元方法的超收斂性結(jié)果,拓寬和豐富了間斷有限元方法的超收斂性理論。同時,間斷有限元方法的誤差分析為其高精度特點提供了堅

3、實的理論依據(jù);所得到的多維非線性雙曲守恒律方程間斷有限元方法的最優(yōu)先驗誤差估計,進一步豐富了其收斂性理論。
　　首先,對于一維線性四階時間相關(guān)偏微分方程,研究了局部間斷有限元方法的超收斂性。通過構(gòu)造特殊的全局投影,證明了當使用交錯數(shù)值流通量時,局部間斷有限元解以k+32階超收斂到真解的一個特殊投影,其中k≥1為有限元空間中分片多項式的次數(shù)。研究結(jié)果推廣了Cheng和Shu關(guān)于局部間斷有限元方法求解一維線性對流擴散方程的超收斂性工作

4、。此外,得到了數(shù)值解、其各階空間導(dǎo)數(shù)及其時間導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)收斂性結(jié)果。線性問題、初邊值問題、非線性方程以及奇異解情形等大量的數(shù)值算例驗證了方法的超收斂性和解的長時間形態(tài)。
　　然后,對于一維非線性時間相關(guān)雙曲守恒律方程,提出和分析了間斷有限元方法的超收斂性。利用Taylor展開線性化手法和數(shù)值解的先驗假設(shè),證明了當使用迎風(fēng)數(shù)值流通量時,間斷有限元解以k+32階超收斂到真解的一個特殊投影,將線性問題間斷有限元方法的超收斂性分析拓寬到了非

5、線性問題。此外,得到了數(shù)值解及其時間導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)誤差估計。一維多項式非線性方程、強非線性方程和二維問題等一系列數(shù)值算例驗證了方法的超收斂性和解的長時間形態(tài),表明了間斷有限元方法用于處理非線性守恒律方程的計算有效性。
　　最后,對于多維非線性雙曲守恒律方程,給出了Cartesian網(wǎng)格上間斷有限元方法的誤差分析。利用多維特殊投影的超收斂性質(zhì),證明了當使用分片k(k≥2)次張量積多項式時,間斷有限元方法對于迎風(fēng)數(shù)值流通量情形的最優(yōu)誤差估

6、計,并且指出了對于一般單調(diào)數(shù)值流通量情形,該方法可得到次優(yōu)誤差估計。
　　總之,間斷有限元方法是一類求解雙曲守恒律和對流占優(yōu)偏微分方程的高階精度、高分辨率的數(shù)值方法。本文著重研究了間斷有限元方法和局部間斷有限元方法的超收斂性和誤差估計,給出了此類方法可有效用于長時間數(shù)值模擬的堅實理論依據(jù),進一步證實了其高階精度特性。誤差分析和數(shù)值試驗顯示了間斷有限元方法和局部間斷有限元方法用于求解線性方程、非線性方程、一維以及多維時間相關(guān)問題的計