并行GPBiCG(m,l)算法與預(yù)處理技術(shù).pdf

1、許多大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算問(wèn)題的數(shù)值模擬最終歸結(jié)為大型稀疏線性或非線性代數(shù)方程組的求解.而代數(shù)方程組的求解時(shí)間往往在整體數(shù)值模擬時(shí)間中占有非常大的比重，以致成為整體數(shù)值模擬的瓶頸.因此，設(shè)計(jì)高效的代數(shù)解法器是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵所在，同時(shí)也是設(shè)計(jì)相關(guān)高性能軟件的基石.目前，在給定Krylov子空間迭代方法的前提下，有兩種途徑可以降低大型稀疏代數(shù)方程組的求解時(shí)間.一種是并行計(jì)算，另一種是使用預(yù)處理技術(shù).
　　本文主要研究了三項(xiàng)內(nèi)容:一種并行K

2、rylov子空間算法的設(shè)計(jì)與分析;一種新的基于模板消元的預(yù)處理技術(shù)和在研究預(yù)處理理論中遇到的一類特征值反問(wèn)題.
　　首先，針對(duì)Krylov子空間迭代法并行計(jì)算的瓶頸問(wèn)題:全局通信，以文獻(xiàn)中最近出現(xiàn)的GPBiCG(m，l)方法為例來(lái)說(shuō)明如何設(shè)計(jì)并行Krylov子空間方法.設(shè)計(jì)思想是將原方法中的每次迭代需要的三個(gè)內(nèi)積同步點(diǎn)降低到一個(gè).我們稱新方法為改進(jìn)的GPBiCG(m，l)(簡(jiǎn)稱為IGPBiCG(m，l))方法.本文理論上證明了IG

3、PBiCG(m，l)方法的并行可擴(kuò)展性比原方法好3倍以上，證明了當(dāng)問(wèn)題的規(guī)模足夠大時(shí)，在相同條件下IGPBiCG(m，l)方法的求解時(shí)間相比原方法節(jié)省趨向于66％.數(shù)值試驗(yàn)得到了與理論分析相吻合的結(jié)果.另外，盡管GPBiCG(1，0)方法數(shù)學(xué)上等價(jià)于BiCGSTAB，但是數(shù)值試驗(yàn)表明IGPBiCG(1，0)方法的收斂性比中的IBiCGSTAB方法好.
　　其次，提出了一種基于模板消元的新的預(yù)處理技術(shù).文提出了基于數(shù)學(xué)模板(Sten

4、cil)消元方法來(lái)構(gòu)造并行差分格式，我們將這種方法發(fā)展為一種模板消元預(yù)處理技術(shù).對(duì)于由五點(diǎn)差分格式或七點(diǎn)差分格式離散二維或三維偏微分方程得到的，經(jīng)過(guò)對(duì)角尺度化的大型稀疏線性方程組，證明了使用模板消元預(yù)處理技術(shù)后，利用Krylov子空間迭代法求解預(yù)處理線性方程組的速度是求解原方程組速度的兩倍.這種預(yù)處理技術(shù)易于實(shí)施，且容易和其它現(xiàn)有的預(yù)處理技術(shù)結(jié)合使用.數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，將其與ILU(0)等預(yù)處理方法結(jié)合使用，能明顯地加快Krylov子空

5、間迭代法的收斂速度.另外，基于數(shù)學(xué)模板消元技術(shù)，我們提出了具有良好并行性的代數(shù)模板消元法.討論了如何利用代數(shù)模板消元法求矩陣的逆，并且分析了這種方法計(jì)算復(fù)雜度.
　　最后，為了保持特殊矩陣之逆的一些性質(zhì)，我們提出了一種簡(jiǎn)單且實(shí)用的算法，以求解非負(fù)矩陣和M矩陣的特征值反問(wèn)題.給出了算法的穩(wěn)定性、敏感性、計(jì)算量分析以及非負(fù)矩陣反問(wèn)題與M矩陣反問(wèn)題可解的充分條件和必要條件;將新算法發(fā)展成為一種多層自適應(yīng)算法，并以大量的算例驗(yàn)證了算法的有