非光滑映射的混沌動(dòng)力學(xué)研究.pdf

1、近年來(lái)，非光滑動(dòng)力系統(tǒng)成為了數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域研究的一個(gè)新熱點(diǎn).一方面，來(lái)源于很多實(shí)際問(wèn)題的系統(tǒng)是非光滑的，例如碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，帶有干摩擦的粘滑振動(dòng)系統(tǒng)，含有開(kāi)關(guān)的電路系統(tǒng)以及一些控制系統(tǒng)等;另一方面，許多光滑系統(tǒng)的全局Poincaré映射是非光滑的.非光滑系統(tǒng)能夠發(fā)生一些在光滑系統(tǒng)中不會(huì)出現(xiàn)的特有的分岔，例如擦邊分岔(Grazing bifurcation)，滑移分岔(Sliding bifurcation).同時(shí)這些分岔也導(dǎo)致了通向混沌的

2、新路徑.
　　第一章綜述近年來(lái)非光滑動(dòng)力學(xué)的部分結(jié)果，最新進(jìn)展以及尚存在的一些問(wèn)題.同時(shí)，還介紹了本文的研究?jī)?nèi)容和主要結(jié)果.
　　第二章回顧一些將在下文中用到的動(dòng)力系統(tǒng)和遍歷理論的基本概念和結(jié)果，包括Birkhoff遍歷定理，測(cè)度熵，Lyapunov指數(shù)，物理測(cè)度，Smale馬蹄等.
　　第三章研究了一個(gè)描述碰撞振子擦邊分岔的區(qū)間映射的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).首先證明在適當(dāng)?shù)膮?shù)區(qū)域內(nèi)映射是拓?fù)浠旌系?接下來(lái)對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行變形估計(jì)(由于

3、該映射具有無(wú)界導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)），在此基礎(chǔ)上構(gòu)造原映射的一個(gè)誘導(dǎo)馬爾可夫(Markov)映射，并且證明誘導(dǎo)映射的回歸時(shí)間函數(shù)的尾是指數(shù)衰減的.然后證明映射存在一個(gè)絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度，該測(cè)度是唯一的并且混合的.最后應(yīng)用馬爾可夫塔方法證明映射對(duì)H(o)lder連續(xù)觀測(cè)滿足指數(shù)相關(guān)性衰減和中心極限定理.
　　第四章證明了在一定的參數(shù)區(qū)域內(nèi)，Nordmark映射（單自由度碰撞振子擦邊分岔的范式映射）存在馬蹄型混沌.首先通過(guò)對(duì)坐標(biāo)平面做一個(gè)合適的分割

4、，證明Nordmark映射的非游蕩集包含在一個(gè)矩形區(qū)域中，然后從此區(qū)域出發(fā)構(gòu)造“橫條”和“豎條”，最后驗(yàn)證Conley-Moser條件，證明Nordmark映射在其非游蕩集上的限制拓?fù)涔曹椨陔p邊符號(hào)空間上的移位映射.
　　第五章研究了一類(lèi)Belykh型映射（一類(lèi)兩維不連續(xù)分段線性映射）的符號(hào)動(dòng)力學(xué).首先證明當(dāng)映射滿足雙曲性條件時(shí)，修剪前猜想(Pruning front conjecture)對(duì)此映射在一個(gè)由正負(fù)向軌道都有界的點(diǎn)構(gòu)成

5、的不變集上成立，給出了判斷系統(tǒng)的允許符號(hào)序列的解析條件.在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造映射的一個(gè)拓?fù)淠Ｐ停m然此映射是不連續(xù)的，但其在上述不變集上的限制拓?fù)涔曹椨陔p邊符號(hào)空間的一個(gè)商空間上的移位映射.這個(gè)商空間由映射的修剪前(Pruning front)和基本修剪區(qū)域(Primary pruned region)完全確定.最后給出映射存在馬蹄型混沌的參數(shù)區(qū)域的精確邊界.
　　第六章繼續(xù)研究第五章中的Belykh型映射.計(jì)算這類(lèi)映射的奇怪吸引子的