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1、發(fā)現(xiàn)并利用矩陣的特殊結(jié)構(gòu)對(duì)其降階及其它特殊處理,進(jìn)而針對(duì)相關(guān)計(jì)算問(wèn)題設(shè)計(jì)好的算法是線性系統(tǒng)和數(shù)值代數(shù)研究的重要思想和基本方法.基于這種思想,本文引進(jìn)了兩類(lèi)新的特殊矩陣,即,k次R-對(duì)稱(chēng)矩陣和k次R-同余矩陣,對(duì)它們的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究和討論,并解決了兩類(lèi)相關(guān)的反問(wèn)題及其最佳逼近問(wèn)題.證明了k次R-同余矩陣的線性系統(tǒng)問(wèn)題可以等價(jià)于兩個(gè)實(shí)線性系統(tǒng)問(wèn)題且其特征問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)低階實(shí)矩陣的相應(yīng)問(wèn)題;給出了Procrustes問(wèn)題有Her
2、mitek次R-對(duì)稱(chēng)矩陣解的充要條件以及解的表達(dá)式,還通過(guò)構(gòu)造(X,∧)使得特征值反問(wèn)題AX=XA有k次R-對(duì)稱(chēng)矩陣解,并解決了在這種譜約束下的最佳逼近問(wèn)題.事實(shí)上,k次R-對(duì)稱(chēng)矩陣是文[1,35-39]中A.L.Andrew,W.C.Pye等討論的中心對(duì)稱(chēng)矩陣、文[9,19,25]中Chen定義的自反矩陣以及文[10,14,26]中Trench引入的R-對(duì)稱(chēng)矩陣的推廣,因而本文所得結(jié)果涵蓋了上述文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果.更為重要的是——利用k
3、次R-對(duì)稱(chēng)矩陣的特殊結(jié)構(gòu)可以一次性將其線性方程組、特征問(wèn)題、廣義逆、奇異值分解、Procrustes問(wèn)題以及特征值反問(wèn)題等轉(zhuǎn)化成多個(gè)(≥2)低階子矩陣的相應(yīng)問(wèn)題來(lái)處理,這在數(shù)值計(jì)算中的意義是不言而喻的. 主要結(jié)果如下: 定理A∈Cn×n是k次R-對(duì)稱(chēng)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A=(P1…Ps)(Aab)s×s((P)T1…(P)Ts)T,其中Aab={PaHAPb,如果ja+jb≡0(modk),0,其它.1≤a,b≤s.定理令P=(
4、iP1…iPk/2-1Pk/2Pk/2+1…Pk-1iPk),Q=(P1…Pk/2-1Pk/2iPk/2+1…iPk-1-iPk).則A=B+iC是k次R-同余矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A=PArQT,這里Ar是具有特殊結(jié)構(gòu)的實(shí)矩陣. 定理若A∈Cn×n是k次R-對(duì)稱(chēng)矩陣;令X,…,Xs為不全為零的向量組,其中Xa∈Crja,1≤a≤s.則(λ,s∑a=1PaXa)為A的一個(gè)特征對(duì)當(dāng)且僅當(dāng)下面兩個(gè)條件同時(shí)成立: 1)對(duì)所有滿(mǎn)足2ja≡
5、0(modk)的a=1,…,s來(lái)說(shuō),如果Xa≠0,那么(λ,Xa)是Aaa的一個(gè)特征對(duì); 2)對(duì)所有滿(mǎn)足a≠b和ja+jb≡0(modk)的a,b=1,…,s來(lái)說(shuō),如果(XaT,XbT)T≠0,那么(λ,(XaT,XbT)T)是(0AbaAab0)的一個(gè)特征對(duì). 定理若Xa和Vb(a,b=1,…,s)滿(mǎn)足假設(shè)3.3且B∈Cn×n滿(mǎn)足(3.9)和(3.10).則A∈ψ(X,V)當(dāng)且僅當(dāng)A形如(3.1)其中 Aab=
6、φa(Eab∑a-1NbaHNab∑b-1Hab)φbH,這里Eab=(Eijab)ka×kb,Eijab=σiaLjiba+σjbLijab/(σia)2+(σjb)2且Hab(a≤b)任意但當(dāng)a=b時(shí),Haa=HaaH;若條件滿(mǎn)足,則最小值是 (∑a=b(ka∑i=1[Im(Liiaa)]2+∑i≠jψ(i,j)(a,a)+∑a≠bψ(i,j)(a,b)+γ)1/2,其中 ψ(i,j)(a,b)=∑i,j[σjbRe
7、(Ljiba)-σiaRe(Lijab)]2+[σjbIm(Ljiba)-σiaIm(Lijab)]2/(σia)2+(σjb)2且γ=∑(‖Mab‖2+‖Tab‖2),這里a,b=1,…,s滿(mǎn)足ja+jb≡0(modk). 定理ψ記κ次R-對(duì)稱(chēng)矩陣類(lèi);對(duì)于滿(mǎn)足ja+jb≡0(modk)的所有a,b=1,…,s令0≤ma=mb≤min{ra,rb},0≤la≤ra-ma,0≤1b≤rb-mb;Xa=(χ1a…χma+1a…χma
8、+laa0…0)∈Cra×ma+la+lb,Xb=(χ1b…χmb+1b…χmb+lbb0…0)∈Crb×mb+la+lb,且rank(Xa)=ma+la,rank(Xb)=mb+lb;∧=diag(∧1,…,∧s),其中∧a=∧b=diag(λ1a,…,λmaa,0,…,0)∈C(ma+la+lb)×(ma+la+lb),λia≠λja(i≠j);X是第a列和第b列同為PaXa+PbXb的分塊矩陣(若k/2∈{j1,…,js}則第k/
9、2列為Pk/2Xk/2;若s=k則第s列為PsXs). 1)A∈ψ(X,∧)當(dāng)且僅當(dāng)A滿(mǎn)足(2.14),其中Aab=XaψXb++KabΓb+(ja+jb≡0(modk)),Γb=I-XbXb+且Kab∈Cra×rb為任意矩陣; 2)若R是正規(guī)矩陣;給定任意矩陣B=(P1…Ps)(Bab)s×s(P1…Ps)H.則問(wèn)題3.4的解是 AB=(P1…Ps)(Aab)s×s(P1…Ps)H,其中Aab=XaψXb++B
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