關(guān)于Poisson幾何里的Dirac約化.pdf

1、Poisson幾何中的—個(gè)非常重要的結(jié)果和應(yīng)用，即通過利用矩映射等進(jìn)行Poisson結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)的約化進(jìn)而得到對(duì)稱力學(xué)系統(tǒng)的約化。這些約化方法在其可應(yīng)用的系統(tǒng)類型上有一定的局限性，比如其不能應(yīng)用于不完整約束系統(tǒng)等。而Dirac結(jié)構(gòu)恰可以用于分析此類以及其它一些微分與代數(shù)方程等系統(tǒng)的相關(guān)問題。另外，關(guān)于Dirac結(jié)構(gòu)的討論在引入了特征對(duì)和對(duì)偶特征對(duì)等概念以后變得更加清晰、簡(jiǎn)潔。因?yàn)橐隓irac結(jié)構(gòu)的—個(gè)基本目的即應(yīng)用于一些力學(xué)系統(tǒng)的約化

2、，本文詳細(xì)地討論了Dirac結(jié)構(gòu)的約化問題，包括其在Poisson流形以及Jacobi流形等的約化中的重要應(yīng)用，重點(diǎn)利用了Dirac結(jié)構(gòu)的特征對(duì)以及對(duì)偶特征對(duì)的工具，從而避開了討論矩映射的存在性以及容許函數(shù)等一些復(fù)雜概念的介入。 本文在李雙代數(shù)胚上，引入了Dirac結(jié)構(gòu)的特征對(duì)并給出對(duì)偶特征對(duì)的概念，利用對(duì)偶特征對(duì)，給出李雙代數(shù)胚double的極大迷向子叢是Dirac結(jié)構(gòu)的充要條件。其次，分別利用特征對(duì)與對(duì)偶特征對(duì)，將可約Dir

3、ac結(jié)構(gòu)分為第一類可約與第二類可約。在此基礎(chǔ)上，建立Poisson流形的兩類對(duì)應(yīng)約化定理。這些約化理論繞開了傳統(tǒng)的借助于矩映射等復(fù)雜工具進(jìn)行Poisson作用與Poisson流形、預(yù)辛流形等的約化，并且明確指出約化Poisson流形以及預(yù)辛流形上的約化Poisson結(jié)構(gòu)以及預(yù)辛結(jié)構(gòu)與原流形上的對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，使得約化問題解決的更加簡(jiǎn)潔、直觀，同時(shí)給出了對(duì)應(yīng)的應(yīng)用和例子。 關(guān)于Jacobi雙代數(shù)胚，類似地引入了Jacobi-D

4、irac結(jié)構(gòu)及其特征對(duì)和對(duì)偶特征對(duì)的概念。利用對(duì)偶特征對(duì)，給出Jacobi雙代數(shù)胚double的極大迷向子叢是Jacobi-Dirac結(jié)構(gòu)的充要條件。利用特征對(duì)與對(duì)偶特征對(duì)，將可約Jacobi-Dirac結(jié)構(gòu)分為第一類與第二類可約.在此基礎(chǔ)上，建立Jacobi流形的兩類對(duì)應(yīng)約化定理，并給出了約化Jacobi流形上的約化Jacobi結(jié)構(gòu)的具體形式以及其與原流形上的Jacobi結(jié)構(gòu)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這些約化過程，繞開了利用容許函數(shù)或其它代數(shù)工