4維De Sitter和Minkowski空間中的平穩(wěn)曲面.pdf

1、在這篇論文中，我們主要進(jìn)行三方面的研究：首先是4維deSitter空間S14中的類(lèi)空零平均曲率曲面的穩(wěn)定性；其次是4維deSitter空間S14中的具有零Gauss-Kronecker曲率的極大超曲面的構(gòu)造及其反問(wèn)題；最后是Minkowski空間R1n中的類(lèi)空零平均曲率曲面的一些性質(zhì). 在第一章中，我們主要研究4維deSitter空間S14中的平穩(wěn)曲面(即類(lèi)空零平均曲率曲面)的穩(wěn)定性問(wèn)題并得到了如下結(jié)果：定理1.3.1設(shè)ψ∶M2

2、→S14是緊致可定向具有高斯曲率K的平穩(wěn)曲面，且存在一個(gè)類(lèi)時(shí)法向量場(chǎng)X使得dX平行于ψ.如果spec(△)∩(2，4-2infK)=φ，那么ψ是平均迷向穩(wěn)定的. 定理1.3.2設(shè)ψ∶M2→S14是可定向的平穩(wěn)曲面.如果ψ存在一個(gè)類(lèi)光法向量場(chǎng)X使得dX平行于ψ，則下面的結(jié)論成立：1)如果2(∈)spec(△)，那么ψ是平均迷向穩(wěn)定的；2)如果2∈spec(△)，那么ψ是平均迷向穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)ψ是全測(cè)地的.作為定理1.3.1的直接推

3、論我們得知：推論1.3.53維單位球面S3中的極小曲面，Clifford環(huán)面T2和大圓S2視為4維deSitter空間S14中的平穩(wěn)曲面是平均迷向穩(wěn)定的.在第二章中，我們構(gòu)造了deSitter空間S14中的一類(lèi)具有零Gauss-Kronecker曲率的極大超曲面，它們是4維雙曲空間H4中一類(lèi)極小浸入曲面ξ∶V→H4的“PolarMap”像.然后我們考慮其反問(wèn)題：給定deSitter空間S14中的一個(gè)具有零Gauss-Kronecker曲

4、率的極大超曲面M3，是否存在一個(gè)極小浸入曲面ξ∶V→H4使得M3是ξ的“PolarMap”像?我們的結(jié)論是：定理2.3.4設(shè)f∶M3→S14是極大超曲面且具有零Gauss-Kronecker曲率，其第二基本形式的長(zhǎng)度平方S＞0.如果M3的對(duì)應(yīng)于零主曲率的主方向是完備的，那么f(M3)是一個(gè)極小浸入曲面ξ∶V→H4的“PolarMap”像.在第三章中，我們將歐氏空間Rn中的極小曲面與Minkowski空間R1n中的平穩(wěn)曲面進(jìn)行類(lèi)比，并且得

5、到了如下的結(jié)論：定理3.2.1設(shè)x∶M2→R1n是可定向的平穩(wěn)曲面，M2是其高斯映射像.那么以下結(jié)論成立：1)下述論斷互相等價(jià)：i)x含于R1n的一個(gè)低維子空間內(nèi)；ii)x是1，-1或-2可分解的曲面；iii)x的高斯映射退化，且M2包含在一個(gè)實(shí)超平面內(nèi).2)當(dāng)x不含于R1n的一個(gè)低維子空間內(nèi)時(shí)，則下述論斷互相等價(jià)：i)x是2可分解的曲面；ii)x的高斯映射退化，且M2包含在一個(gè)切超平面內(nèi).眾所周知，歐氏空間Rn中非平坦極小曲面的高斯曲

6、率K都是非正的，并且它的零點(diǎn)至多是孤立的.然而，在Minkowski空間R1n中此結(jié)論不真(見(jiàn)例子3.2.4).本文得到了一個(gè)充分條件：定理3.2.3設(shè)L4(c)(c≥0)是4維Lorentz空間形式，x∶M2→L4(c)是一平穩(wěn)曲面.如果x的高斯映射是實(shí)退化的，那么下面的結(jié)論成立：1)x存在整體定義的平行法標(biāo)架場(chǎng)，因而法叢平坦；2)若x的高斯曲率K(≡)c，則K=c的點(diǎn)是孤立的.定理3.2.6設(shè)x∶M2→R14是完備可定向的平穩(wěn)曲面.