組合學(xué)中的單峰型問(wèn)題.pdf

1、單峰型問(wèn)題是組合學(xué)中基本的研究課題之一，其內(nèi)容包括單峰性、對(duì)數(shù)凹性、對(duì)數(shù)凸性和PF性質(zhì)的研究等.因PF性質(zhì)蘊(yùn)涵單峰性和對(duì)數(shù)凹性，且有限PF序列可由其發(fā)生函數(shù)只具有實(shí)零點(diǎn)來(lái)刻畫，故多項(xiàng)式實(shí)零點(diǎn)性的研究是單峰型問(wèn)題中的一個(gè)重要的組成部分(這項(xiàng)研究本身也是數(shù)學(xué)學(xué)科中的經(jīng)典問(wèn)題之一).因此關(guān)于PF性質(zhì)和對(duì)數(shù)凸性的研究是單峰型問(wèn)題中的主要內(nèi)容.本文分別統(tǒng)一地給出多項(xiàng)式序列具有實(shí)零點(diǎn)性以及組合序列具有對(duì)數(shù)凸性的判別方法，具體內(nèi)容如下。 第一

2、部分研究多項(xiàng)式序列只具有實(shí)零點(diǎn)的問(wèn)題.雖然在以往的研究過(guò)程中已經(jīng)有許多關(guān)于多項(xiàng)式實(shí)零點(diǎn)性的經(jīng)典結(jié)果，但是本文旨在對(duì)遞歸多項(xiàng)式的實(shí)零點(diǎn)性作出統(tǒng)一的處理.基于零點(diǎn)交替的方法給出遞歸的多項(xiàng)式序列只具有實(shí)零點(diǎn)的充分條件，根據(jù)這些條件能由已知的只具有實(shí)零點(diǎn)的多項(xiàng)式得到新的只具有實(shí)零點(diǎn)的多項(xiàng)式，所建立的方法能統(tǒng)一許多經(jīng)典問(wèn)題的證明，包括正交多項(xiàng)式、圖的匹配多項(xiàng)式、Narayana多項(xiàng)式、Bell多項(xiàng)式和Eulerian多項(xiàng)式等的實(shí)零點(diǎn)性；還給出多項(xiàng)

3、式矩陣保持交替性的充分條件，作為應(yīng)用能證明Stahl關(guān)于某些圖的虧格多項(xiàng)式的實(shí)零點(diǎn)性的猜想并能解決其提出的公開問(wèn)題。 第二部分對(duì)組合序列的對(duì)數(shù)凸性做出了較為系統(tǒng)的研究.雖然序列的對(duì)數(shù)凸性等同于其倒數(shù)序列的對(duì)數(shù)凹性，但是對(duì)數(shù)凸性與對(duì)數(shù)凹性的研究之間有著本質(zhì)的區(qū)別.首先給出保持對(duì)數(shù)凸性的算子，包括對(duì)應(yīng)項(xiàng)加和、二項(xiàng)式卷積以及由二項(xiàng)式系數(shù)、兩類Stirling數(shù)決定的線性變換等；其次給出滿足三項(xiàng)遞歸關(guān)系的序列具有對(duì)數(shù)凸性的充分條件，由此