格路徑上的組合學(xué).pdf

1、格路計數(shù)是組合數(shù)學(xué)中經(jīng)典的研究內(nèi)容之一，直到現(xiàn)在仍然是一個非常熱門的研究領(lǐng)域，因其還有許多未能證明和發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)一直以來備受關(guān)注.本文選取格路計數(shù)中Hankel行列式的計算問題以及格路上Chung-Feller性質(zhì)的研究作為主要內(nèi)容.
　　令{al}l≥0是一個序列，對于一個非負(fù)整數(shù)k，序列{al}l≥0的Hankel矩陣Akn是一個具有如下形式的矩陣Akn=(ak+i+j-2)ni,j=1，其中{al}l≥0是基于格路計數(shù)產(chǎn)生的三

2、種組合數(shù)，即Catalan數(shù)，Motzkin數(shù)和Schr(o)der數(shù).關(guān)于Hankel行列式det（A(k)n）的計算問題已經(jīng)得到了廣泛的研究，例如非常著名的等式det1≤i，j≤n（ci+j-2）=1，det1≤i,j≤n（ci+j-1）=1和det1≤i,j≤n（ci+j）=n+1;Cameron和Yip等人發(fā)現(xiàn)兩個連續(xù)帶權(quán)Motzkin數(shù)的Hankel行列式的結(jié)果與第二類切比雪夫多項式有著密切的聯(lián)系;Rajkovi(c）, Pe

3、tkovi(c)和Barry利用正交多項式算出了兩個連續(xù)帶權(quán)Schr(o)der數(shù)的Hankel行列式的顯性公式;而Eu，Wong和Yen得出兩個連續(xù)帶權(quán)Schr(o)der數(shù)的線性組合的Hankel行列式的生成函數(shù)和顯性公式，他們研究的依據(jù)是著名的Gessel-Viennot-Lindstr(o)m引理，這也是本文研究格路上Hankel行列式的理論依據(jù).
　　著名的Chung-Feller定理是1909年由MacMahon首次發(fā)

4、現(xiàn)的;于1949年由Chung和Feller用分析的方法證明并且命名;之后，Narayana等人利用循環(huán)路證明了該定理;2005年，Eu，F(xiàn)u和Yeh在研究了不同格路生成函數(shù)的泰勒展式后，改進(jìn)了該定理，并且證明了賦權(quán)自由Schr(o)der路也具有Chung-Feller性質(zhì);2007年，陳永川教授等人依據(jù)雙根平面樹中的蝴蝶分解，重新證明了Chung-Feller定理以及Eu，F(xiàn)u和Yeh的發(fā)現(xiàn).
　　本學(xué)位論文主要研究了格路上的