格路徑和對稱函數(shù).pdf

1、Cauchy核的對角化是對稱函數(shù)理論中最重要的定理之一.這個定理現(xiàn)在稱為Cauchy定理.這篇博士論文的主要工作是從格路徑的觀點研究關(guān)于Schur函數(shù)的Cauchy核,并且給出了(齊次)差分算子和特殊Schubert多項式的格路徑解釋.后者是我們在關(guān)于Schubert多項式的Cauchy核對角化方面所做的努力(Alain Lascoux猜想在非交換的情況下也成立,但目前為止還沒有被證明).首先我們得到了一個帶標志的Cauchy行列式,建

2、立了這個行列式和不交格路徑叢的對應,從而得到了關(guān)于Schur函數(shù)的Cauchy等式.在此基礎上,通過選擇格路徑上不同的起點和終點,我們很容易地得到了Gessel的一個等式,該等式將關(guān)于Schur函數(shù)的Cauchy和用全變量集上的完全對稱函數(shù)表示了出來.與此等價的代數(shù)證明需要Cauchy-Binet公式和基于超完全對稱函數(shù)上的multi-Schur函數(shù)兩方面的知識.我們還利用Jacobi對稱化子給出了Cauchy行列式的一個計算.我們接著

3、給出了斜Schubert多項式的楊表定義,這類多項式是由帶標志的雙斜Schur函數(shù)給出的,Lascoux稱之為斜Schubert多項式.實際上,這些多項式是由321禁排模式的排列決定的雙變元集上的Schubert多項式.基于Chen-Li-Louck匹配引理,我們從斜Schubert多項式的差分算子定義出發(fā)構(gòu)造了他們的格路徑解釋.這個格路徑解釋直接可以得出斜Schubert多項式的行列式定義和楊表定義.在單變元集的情況下,斜Schube

4、rt多項式退化成帶標志的斜Schur函數(shù),這類函數(shù)已經(jīng)被Wachs和Billey-Jockusch-Stanley研究.并且,我們提供了齊次差分算子的一個格路徑解釋,從而證明了每一個帶標志的Schur函數(shù)可以通過作用齊次算子序列在某個單項式上得到.最后,我們給出了關(guān)于超Schur函數(shù)的Giambelli公式和Lascoux-Pragacz公式的格路徑證明.超Lascoux-Pragacz公式的格路徑構(gòu)造是和分拆的一個編碼有關(guān)的,這個編碼