平面系統(tǒng)極限環(huán)的局部分支.pdf

1、本文主要研究幾類平面系統(tǒng)的焦點(diǎn)或中心在多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)分支問題。利用冪級數(shù)及定性分析的方法，確定兩類高次對稱Liénard系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的小振幅極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)，并討論低次系統(tǒng)在全平面上的極限環(huán)個(gè)數(shù)；研究三次系統(tǒng)存在冪零中心的充要條件，以及一般的具有冪零中心的平面哈密頓系統(tǒng)在小擾動(dòng)下的極限環(huán)分支，考察中心附近的一階Melnikov函數(shù)的光滑性，及其展開式的前幾項(xiàng)系數(shù)的具體表達(dá)式；利用開折及同宿軌改變穩(wěn)定性方法討論一類五次對稱近哈密頓系

2、統(tǒng)的極限環(huán)分支。主要內(nèi)容可概括如下: 第一章概述了與本文相關(guān)的一些背景和預(yù)備知識。在§1.1中，介紹了Hilbert第16問題(后半部分)及弱Hilbert第16問題的研究進(jìn)展；在§1.2中，介紹了平面系統(tǒng)的分支理論及研究方法；在§1.3中，介紹了我們的工作。 第二章完整地解決了兩類高次對稱Liénard系統(tǒng)的在指標(biāo)為+1的奇點(diǎn)的Hopf環(huán)性數(shù)。我們通過系統(tǒng)的等價(jià)變換，構(gòu)造特殊函數(shù)，再借助于冪級數(shù)方法來確定Liénard

3、系統(tǒng)在原點(diǎn)的Hopf環(huán)性數(shù).我們避開了以改變焦點(diǎn)穩(wěn)定性來獲取極限環(huán)的傳統(tǒng)方法，靈活地利用已知的定理，通過構(gòu)造及論證定理的條件來達(dá)到我們的目的.另一方面，我們充分利用文獻(xiàn)中已有的成果，討論低次系統(tǒng)在全平面中的極限環(huán)最大個(gè)數(shù)。 第三章討論了具有冪零中心的平面哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題。首先給出三次系統(tǒng)存在退化的冪零中心的充要條件，其次對于一般的具有冪零中心的哈密頓系統(tǒng)，我們利用巧妙的變換和詳細(xì)的分析研究了中心附近的一階Melniko