幾類高維系統(tǒng)的局部分支.pdf

1、本文主要研究高維系統(tǒng)的局部分支問題。非線性動力系統(tǒng)的分支和極限環(huán)的存在與個(gè)數(shù)問題在許多學(xué)科中都有重要的意義，具有廣泛的理論和應(yīng)用價(jià)值。目前二維平面系統(tǒng)的分支理論已經(jīng)建立了比較完善的研究體系，但高維系統(tǒng)的復(fù)雜性和計(jì)算難度相較于二維系統(tǒng)都有很大的提升，對高維系統(tǒng)的分支理論還沒有建立起系統(tǒng)而完善的研究方法。針對一些特殊的高維系統(tǒng)，深入地研究了其Hopf分支！零 Hopf分支等問題，得到了一些結(jié)果。
　　本研究分為五個(gè)部分：第一章介紹本課

2、題的來源背景和選題意義。第二章介紹需要用到的預(yù)備知識，主要是介紹一些有關(guān)極限環(huán)和分支理論的基本概念，平面系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和分支方法，特別是 H opf分支的主要理論。最后介紹了一點(diǎn)高維系統(tǒng)進(jìn)行分支研究的思想方法，如降維思想和中心流形定理。第三章研究了一個(gè)三維三次系統(tǒng)的H o p f分支。這個(gè)系統(tǒng)是最近由Ovsyannikov I.I.和 Turaev D.V.提出來的，他們稱之為擴(kuò)展的Lorenz系統(tǒng)(Extended Lorenz S

3、ystem, ELS)。該系統(tǒng)帶有5個(gè)參數(shù)，我們通過分析選擇了其中一個(gè)參數(shù)來進(jìn)行H opf分支，利用中心流形定理將系統(tǒng)限制在奇點(diǎn)附近的二維局部中心流形上，然后再借助于平面系統(tǒng)的H opf分支理論，得到了系統(tǒng)在三個(gè)孤立的平衡點(diǎn)處各存在一個(gè)極限環(huán)，共有三個(gè)極限環(huán)。第四章繼續(xù)研究系統(tǒng)E L S的余維2的零-H o p f分支，采用的方法是 Lyapunov-Schmidt約簡方法。Lyapunov-Schmidt約簡方法在研究高維周期系統(tǒng)和自

4、治系統(tǒng)的局部分支方面具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，它可以用于閉軌分支、Hopf分支！零-Hopf分支！共振分支等，還可以用于一些泛函微分方程的分支研究。利用此法研究了系統(tǒng)ELS的零-Hopf分支，通過建立的分支函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算，得到系統(tǒng)ELS的極限環(huán)的存在性和個(gè)數(shù)。第五章則使用平均理論研究系統(tǒng)ELS的零-Hopf分支。平均理論也是研究高維系統(tǒng)分支時(shí)經(jīng)常使用的一種方法。按照標(biāo)準(zhǔn)的平均理論的步驟，我們將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)平均系統(tǒng)，然后用平均函數(shù)的零