幾類高維系統(tǒng)的局部分支.pdf

1、本文主要研究高維系統(tǒng)的局部分支問題。非線性動力系統(tǒng)的分支和極限環(huán)的存在與個數問題在許多學科中都有重要的意義，具有廣泛的理論和應用價值。目前二維平面系統(tǒng)的分支理論已經建立了比較完善的研究體系，但高維系統(tǒng)的復雜性和計算難度相較于二維系統(tǒng)都有很大的提升，對高維系統(tǒng)的分支理論還沒有建立起系統(tǒng)而完善的研究方法。針對一些特殊的高維系統(tǒng)，深入地研究了其Hopf分支！零 Hopf分支等問題，得到了一些結果。
　　本研究分為五個部分：第一章介紹本課

2、題的來源背景和選題意義。第二章介紹需要用到的預備知識，主要是介紹一些有關極限環(huán)和分支理論的基本概念，平面系統(tǒng)的結構穩(wěn)定性和分支方法，特別是 H opf分支的主要理論。最后介紹了一點高維系統(tǒng)進行分支研究的思想方法，如降維思想和中心流形定理。第三章研究了一個三維三次系統(tǒng)的H o p f分支。這個系統(tǒng)是最近由Ovsyannikov I.I.和 Turaev D.V.提出來的，他們稱之為擴展的Lorenz系統(tǒng)(Extended Lorenz S

3、ystem, ELS)。該系統(tǒng)帶有5個參數，我們通過分析選擇了其中一個參數來進行H opf分支，利用中心流形定理將系統(tǒng)限制在奇點附近的二維局部中心流形上，然后再借助于平面系統(tǒng)的H opf分支理論，得到了系統(tǒng)在三個孤立的平衡點處各存在一個極限環(huán)，共有三個極限環(huán)。第四章繼續(xù)研究系統(tǒng)E L S的余維2的零-H o p f分支，采用的方法是 Lyapunov-Schmidt約簡方法。Lyapunov-Schmidt約簡方法在研究高維周期系統(tǒng)和自

4、治系統(tǒng)的局部分支方面具有較強的應用價值，它可以用于閉軌分支、Hopf分支！零-Hopf分支！共振分支等，還可以用于一些泛函微分方程的分支研究。利用此法研究了系統(tǒng)ELS的零-Hopf分支，通過建立的分支函數的零點個數的計算，得到系統(tǒng)ELS的極限環(huán)的存在性和個數。第五章則使用平均理論研究系統(tǒng)ELS的零-Hopf分支。平均理論也是研究高維系統(tǒng)分支時經常使用的一種方法。按照標準的平均理論的步驟，我們將原系統(tǒng)轉化為一個平均系統(tǒng)，然后用平均函數的零