三類高維系統(tǒng)的分岔、混沌及控制研究.pdf

1、本文先以一個映射系統(tǒng)為例分析了不動點失穩(wěn)后發(fā)生各類分岔、混沌等動力學行為，然后針對一個兩自由度碰撞振動系統(tǒng)重點分析了其周期運動失穩(wěn)后發(fā)生兩種不同的倍化分岔導致混沌現(xiàn)象，最后以一個平面兩自由度雙擺模型為例說明了其運動微分方程及具有周期系數(shù)的擾動運動微分方程的建立過程以及穩(wěn)定性、分岔、混沌和分岔控制等研究方法。本文的研究主要有以下方面：
　　1.從映射系統(tǒng)、碰撞振動系統(tǒng)、周期系數(shù)系統(tǒng)三種模型有關穩(wěn)定性、分岔、混沌、分岔控制等方面的理論

2、研究和工程應用背景出發(fā)，綜述了部分研究成果、最新發(fā)展動態(tài)。介紹了論文的研究內容與主要結果。
　　2.研究了一類三維映射系統(tǒng)，考慮了其不動點失穩(wěn)后可能發(fā)生的幾類分岔，根據(jù)發(fā)生不同類型分岔時特征根應滿足的特點，確定了系統(tǒng)參數(shù)需要滿足的條件。以不動點失穩(wěn)發(fā)生Hopf-Flip分岔為例，利用中心流形-范式方法和投影法說明了三維映射研究分岔的過程，計算了相關范式系數(shù)，最后通過數(shù)值計算驗證其結果。結果表明，該映射存在因不動點失穩(wěn)而發(fā)生典型倍周

3、期分岔導致混沌的過程，也存在因Hopf圈多次發(fā)生環(huán)面倍化而導致混沌的過程。不動點失穩(wěn)發(fā)生Hopf分岔后，可能經(jīng)歷由光滑不變圈-環(huán)面倍化-環(huán)面破裂-非光滑不變圈的變化過程。滿足4階強共振Hopf分岔條件時不動點失穩(wěn)后通過4條映射軌道形成吸引不變圈，隨著參數(shù)的改變不變圈破裂形成4階Hopf圈，參數(shù)進一步改變，可收斂于周期4點。滿足非共振Hopf-Flip分岔條件時映射不動點失穩(wěn)后會形成2個環(huán)狀或管狀混沌吸引子；滿足弱共振(λ60=1)Hop

4、f-Flip分岔條件時不動點失穩(wěn)后會形成周期6點；滿足強共振(λ40=1)Hopf-Flip分岔條件時不動點失穩(wěn)后會形成4個相連或不相連的帶狀混沌吸引子或周期4點。
　　3.研究了一類碰撞振動系統(tǒng)，理論分析及數(shù)值驗證了系統(tǒng)除存在典型倍周期分岔外，還存在非典型的倍周期分岔。結果表明系統(tǒng)參數(shù)在滿足非共振的Hopf分岔(但靠近強共振或弱共振區(qū)域)條件下，系統(tǒng)周期1-1運動失穩(wěn)首先形成擬周期運動(Poincaré截面上不動點失穩(wěn)形成Hop

5、f圈)，如果系統(tǒng)參數(shù)臨近共振區(qū)，由于Arnold舌的存在，在n階強(弱)共振點附近不動點失穩(wěn)后沿n條映射軌道收斂于Hopf圈，當參數(shù)變化且穿越n階強(弱)共振參數(shù)區(qū)(Arnold舌)時，Poincaré截面上不動點失穩(wěn)發(fā)生次諧分岔而形成穩(wěn)定周期n點，參數(shù)進一步改變則經(jīng)次諧倍化分岔而形成穩(wěn)定周期2n點，參數(shù)再次改變則再經(jīng)次諧倍化分岔而形成穩(wěn)定周期4n點，8n點，16n點，…，混沌狀態(tài)，最終形成n條分支共存形式的n條倍化分岔導致混沌序列。<

6、br>　　4.研究了一個平面兩自由度雙擺力學模型，先根據(jù)拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的運動微分方程，當端點作給定運動情況下，利用運動過程中的幾何邊角關系、微分關系將運動微分方程中的微分變量分別用端點的坐標及它們的各階導數(shù)表示，得到系統(tǒng)的周期運動，并推導出非顯示形式的擾動運動微分方程。采用漸近逼近法，逐步確定擾動運動微分方程一階、二階和三階近似，最終可以得到擾動運動微分方程的任意階近似。這樣將原系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性與分岔的分析就轉化為對擾動運動微

7、分方程n階近似的平衡點的穩(wěn)定性與分岔的分析。對于擾動運動微分方程來講，其平衡點的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)后的分岔類型一般是由其前三階項確定的，即4階及以上高階非線性項一般不會在本質上影響分析其局部動力學行為，本文最終推導出擾動微分方程的六階近似，并且通過數(shù)值計算，比較了相同參數(shù)下擾動運動微分方程6階近似和擾動運動微分方程3階近似在分岔過程上的差異，驗證結果表明除運算時間外兩者是一致的。
　　5.介紹了線性周期系數(shù)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性與常系數(shù)微分

8、系統(tǒng)穩(wěn)定性的關系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。介紹了非線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與對應線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的關系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。將周期系數(shù)微分系統(tǒng)經(jīng)過一系列ti=(i-1)×T→i×T(i=1，…，n)積分可以確定n個狀態(tài)點，其在Poincaré截面(σ={(φ10，φ10，φ20，φ20，t)∈R4×S｜t=T})上形成的對應關系構成Poincaré映射，利用映射分岔條件給出了周期系數(shù)微分系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)后可能發(fā)生的幾種分岔的分岔條件。介紹了周

9、期系數(shù)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的解析分析過程。最后通過調整系統(tǒng)參變量進行數(shù)值計算，最終得到Flip分岔、非共振Hopf分岔(λn0(ε0)≠1，n≠1，2，3，4，…)、強共振(λ3=1、λ2=1)Hopf分岔、Hopf-Flip分岔等行為，從結果來看周期系數(shù)系統(tǒng)與常系數(shù)微分方程或差分方程有基本類似的分岔行為。給出了兩種不同情形的Hopf-Flip分岔結果：一種情形是平衡點失穩(wěn)后可形成穩(wěn)定2階Hopf圈或高階周期點，而另一種情形是平衡點一旦

10、失穩(wěn)后不能穩(wěn)定于Hopf圈或周期n點。對于強共振(λ2=1)Hopf分岔，是一種特殊情形，在此種情況中，隨參數(shù)不斷變化特征根在臨近-1穿越單位圓時，4個負實根突然分解為2個模小于1的負實根和一對復共軛特征根，最終是一對復特征根在很小參數(shù)區(qū)間穿越單位圓(另2個仍為模小于1的負實根)，穿越后為一對-1根(另2根仍為模小于1的負實根)，正是由于特征根穿越單位圓周的特殊性，導致分岔結果的特殊性：穩(wěn)定不動點-周期2焦點-穩(wěn)定的Hopf圈-周期2結

11、點-周期4結點、8結點、16結點、…、2n點，直至混沌，并得到此種情況倍周期分岔導致混沌相圖。
　　6.先介紹了針對常系數(shù)系統(tǒng)的分岔行為進行控制的線性法、平移法以及狀態(tài)反饋和參數(shù)調整控制法等三種方法。然后將上述三種控制分岔混沌的方法應用于周期系數(shù)系統(tǒng)，對周期系數(shù)系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)后發(fā)生的倍化分岔、Hopf分岔兩種情形的分岔行為進行控制，從數(shù)值上驗證其可操作性，得到了系統(tǒng)在控制前后的分岔圖。對于倍化分岔控制：(1)采用線性法，當選取適當

12、的控制參數(shù)，可將周期2點控制到周期1點，或控制到Hopf圈；(2)采用狀態(tài)反饋和參數(shù)調整控制法，當選取適當?shù)目刂茀?shù)，可將周期2點控制到周期1點，或控制到Hopf圈、混沌狀態(tài)；(3)平移法未能達到控制分岔的目的。對于Hopf分岔控制：(1)采用線性法，當選取適當?shù)目刂茀?shù)，可將Hopf圈控制到周期1點，或控制到另一個光滑Hopf圈或變形的Hopf分岔圈；(2)采用狀態(tài)反饋和參數(shù)調整控制法，當選取適當?shù)目刂茀?shù)，可將Hopf圈控制到周期1