幾類反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支.pdf

1、在生態(tài)學(xué)、傳染病學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域,許多種群模型和化學(xué)模型都可以由(時(shí)滯)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)描述。眾說周知,研究系統(tǒng)的分支問題并分析它們的動(dòng)力學(xué)行為是微分方程領(lǐng)域極其重要的熱門研究課題之一。分支(主要針對(duì)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng))是指當(dāng)參數(shù)在某一臨界值附近作微小變化時(shí),系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都會(huì)產(chǎn)生質(zhì)變,主要包括動(dòng)態(tài)分支和靜態(tài)分支。研究某些參數(shù)(如擴(kuò)散系數(shù)、種群繁殖期和反饋時(shí)滯等)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響(包括平衡態(tài)穩(wěn)定性以及分支情況等)在理論和實(shí)踐方面

2、都有很好的指導(dǎo)意義。
　　本文主要利用偏(泛函)微分方程中心流形定理、規(guī)范型方法、Hopf分支以及全局穩(wěn)態(tài)分支等理論,并結(jié)合拋物方程極值原理、比較原理等數(shù)學(xué)方法,針對(duì)幾類具擴(kuò)散和時(shí)滯的化學(xué)模型和具不同功能反應(yīng)項(xiàng)的捕食被捕食模型進(jìn)行了深入的研究,主要工作歸納如下:
　　(1)結(jié)合一般反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的局部Hopf分支定理和全局穩(wěn)態(tài)分支定理,研究了具擴(kuò)散項(xiàng)的耦合Brusselator模型常值平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及齊次和非齊次周期解的存在

3、性;結(jié)合先驗(yàn)估計(jì)和解的存在性和不存在性給出該系統(tǒng)全局穩(wěn)態(tài)分支的存在性;最后討論了Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分支的相互影響。
　　(2)研究了具Dirichlet邊界條件的Brusselator系統(tǒng)在擴(kuò)散和局部反饋控制雙重影響下的動(dòng)力學(xué)行為。結(jié)果表明擴(kuò)散導(dǎo)致Turing分支的發(fā)生。當(dāng)時(shí)滯穿過一系列臨界值時(shí),唯一的常值共存態(tài)在一定條件下經(jīng)歷有限次穩(wěn)定開關(guān),從穩(wěn)定到不穩(wěn)定再到穩(wěn)定,最終不穩(wěn)定。結(jié)合中心流形和規(guī)范型方法得到由Hopf分支產(chǎn)生的非齊

4、次周期解的性質(zhì),并用大量的數(shù)值模擬驗(yàn)證分析結(jié)果。
　　(3)利用特征方程和超越方程根的分布,并結(jié)合極值原理、比較原理等方法研究Neumann邊值條件下幾類具擴(kuò)散項(xiàng)的時(shí)滯捕食被捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。在一定條件下證明Holling-III類系統(tǒng)邊界平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性以及不含時(shí)滯的比率型系統(tǒng)的耗散性和一致持久性。然后討論了時(shí)滯和擴(kuò)散對(duì)系統(tǒng)的影響:當(dāng)時(shí)滯穿過臨界值時(shí),空間齊次和非齊次周期解從正共存態(tài)分支出來;最后討論了Hopf分支的性