兩類二次矩陣方程的數(shù)值求解方法.pdf

1、二次矩陣方程在物理學(xué)、材料學(xué)、工程學(xué)、控制理論和科學(xué)計算等諸多領(lǐng)域有著廣泛而深刻的應(yīng)用.對其解的存在性研究和相應(yīng)的數(shù)值求解方法不但在理論上具有重要意義而且在實際應(yīng)用中也非常有價值.尤其近十幾年隨著計算機的飛速發(fā)展，非線性矩陣方程的數(shù)值解在工程控制領(lǐng)域和計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域都逐漸發(fā)展成為了一個非常熱門的課題.本文主要研究來自于物理中質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)的一類單邊二次矩陣方程的數(shù)值求解問題和來自粒子轉(zhuǎn)移理論中的非對稱代數(shù)Riccati矩陣方程數(shù)值求解問題

2、。
　　 在第2章，我們研究來自于質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)的一類單邊二次矩陣方程的數(shù)值求解問題.我們首先提出這一方程解存在的一個充分條件：其次根據(jù)方程系數(shù)矩陣的特點，我們提出一種保M-矩陣結(jié)構(gòu)的加倍算法來計算方程的極端解；在適當(dāng)?shù)臈l件下，我們還證明該算法的單調(diào)收斂性和局部二次收斂性.我們的數(shù)值試驗說明我們提出的算法要優(yōu)于帶精確線性搜索的牛頓法和伯努利迭代法。
　　 在第3章，我們研究用循環(huán)約化算法來求解過阻尼系統(tǒng)產(chǎn)生的單邊二次矩陣

3、方程.與現(xiàn)有的二次收斂循環(huán)約化算法不同，我們提出一種三次收斂的循環(huán)約化算法.在過阻尼條件下我們證明所提出算法的適定性和收斂性.數(shù)值試驗表明該算法在方程接近于過阻尼系統(tǒng)的臨界狀態(tài)時將比原來的循環(huán)約化算法具有更快的收斂性。
　　 在第4章，我們繼續(xù)研究循環(huán)約化算法的在臨界狀態(tài)過阻尼系統(tǒng)中的收斂性。Guo，Higham和Tisseur在假設(shè)臨界過阻尼系統(tǒng)中按絕對值大小順序排列的第n個特征值的部分重數(shù)(partial multiplic

4、ity)為2的條件下證明了循環(huán)約化算法的線性收斂性，而且算法產(chǎn)生的某些矩陣序列收斂于零矩陣.我們首先給出一個例子說明當(dāng)上述假設(shè)條件不滿足時，循環(huán)約化算法的收斂性與Guo等的收斂結(jié)論并不完全相同，即算法產(chǎn)生的相應(yīng)的矩陣序列可以不收斂到零矩陣；其次在不需要對第n個的特征值部分重數(shù)做任何假設(shè)的條件下，我們對一類臨界狀態(tài)過阻尼系統(tǒng)證明循環(huán)約化算法的收斂性；最后通過數(shù)值試驗驗證本文的收斂性結(jié)果。
　　 在第5章，我們研究來自粒子轉(zhuǎn)移理論中

5、的非對稱代數(shù)Riccati矩陣方程數(shù)值求解問題.我們重新考慮用牛頓法和不動點迭代法來求得這一方程具有物理意義的最小正解.通過注意到牛頓法子問題的特殊矩陣結(jié)構(gòu)，我們基于分解的交替方向隱式(Factored.Alternating Direction Implicit，F(xiàn)ADI)迭代設(shè)計一種低記憶低復(fù)雜度的牛頓法.隨后我們進一步將這一思想拓展到不動點迭代方法的子問題從而提出了兩種低記憶低復(fù)雜度的不動點迭代法.同時我們還證明這些算法在迭代過程