數(shù)學(xué)解題方法演變的分析與研究.pdf

1、數(shù)學(xué)解題方法演 變的 分析 與 研 究數(shù)學(xué)解題方法演變的分析與研究研 究 生 :王洪志指導(dǎo)老師 :王青建 教授 專(zhuān)業(yè)方向 :學(xué) 科教學(xué) 論 ( 數(shù)學(xué))【 摘要】 本文從三 個(gè)方面探討了 數(shù)學(xué)解題方法的重要性，在此基 礎(chǔ)上 舉例對(duì)古今數(shù)學(xué) 解題方法的異同及其原因進(jìn)行了 系統(tǒng)的分析和比 較，并 進(jìn)一步在理 論上探討了 解題方法的演變規(guī)律和作用 最后提出了 解題方法的演變 對(duì)現(xiàn)代教育的一些啟示【 關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)問(wèn) 題 問(wèn) 題解決 解題方法 素

2、 質(zhì)教育1 引 言當(dāng)前，“ 問(wèn)題解決” 雖已成為時(shí)尚， 但教給學(xué)生什么樣的方法仍有爭(zhēng)議， 爭(zhēng)議的焦 點(diǎn)在于 如何 提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 素質(zhì)。套 用定義、公 式的 傳統(tǒng)的 方法頗受非議， 而完全復(fù)占的 原生法又不現(xiàn)實(shí)，尋找 _者 恰當(dāng)?shù)?結(jié)合點(diǎn) 是提高 解題效率并促進(jìn)學(xué)生能 力增長(zhǎng)的必要條件，這需要從理論上探討解題方法演變的規(guī)律和作用。目前還未見(jiàn)到國(guó)內(nèi)外的此類(lèi)論述， 因而本課題研究具有開(kāi)創(chuàng)性， 將對(duì)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展和改革提供有益的參考。2數(shù)學(xué)解

3、題方法的重要性2 . 1問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的地位和作用科學(xué)問(wèn) 題是指科學(xué)研究中主體與客體的關(guān)系，已 知與未知的矛盾‘ 0 。 從結(jié)構(gòu)上看，一切科學(xué)問(wèn)題都有兩種成分:一種是已知的部分，另一種是欲知而未知的部分。后者主要是指以 “ 什么” 、“ 怎樣” 、“ 為什么”等來(lái)表現(xiàn)疑項(xiàng)，前者是組成問(wèn)題的一定概念和判斷，它包括問(wèn)題的指向，即問(wèn)題所涉及的研究對(duì)象，還隱含著對(duì)問(wèn)題的可能回答范圍的主觀假定。問(wèn)題的提出反映了已知與未知的依存，規(guī)定著可能求解的范

4、圍和方向。對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，人們有著不同的理解和認(rèn)識(shí)。1 9 8 8 年， 在第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)( I C M E ) 上，問(wèn)題解決模型化和應(yīng)用課題組 提出的 報(bào)告中 指出:一個(gè) 數(shù)學(xué)問(wèn) 題是一個(gè)對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的， 沒(méi)有現(xiàn)成的直接方法， 程序或算法的 未解決問(wèn) 題的 情境。 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的 觀點(diǎn)是“ 問(wèn) 題是指那些對(duì)于 解答者 來(lái)說(shuō) 還沒(méi)有具備 直接的 解決方法， 對(duì)于 解 答者 構(gòu) 成 認(rèn) 知 上的 挑 戰(zhàn) 的 這 樣的 一

5、種 場(chǎng) 面。 ” ( s ， 例 如 1 + 2 + g + . . . . . . + 1 0 。 二 ? 對(duì) 少 年 兒童來(lái)說(shuō)就是 一個(gè)問(wèn) 題，而 對(duì)于 學(xué)過(guò) 數(shù)列 知識(shí)的 學(xué)生來(lái)講就不成其問(wèn) 題了， 只不過(guò) 是一 道 習(xí)題 。依據(jù)問(wèn)題在科學(xué)發(fā)展的常規(guī)進(jìn)化時(shí)期與革命時(shí)期所起的作用，問(wèn)題分為常規(guī)問(wèn)題和非常規(guī)問(wèn) 題c u 。 常規(guī)問(wèn) 題是 在己 有科學(xué) 理論的 概念框架 卜 提出的，它與現(xiàn)有理論的數(shù) 學(xué)解 題 方法演變的分析與研究2 .

6、 2問(wèn)題解決對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用據(jù)目 前的文獻(xiàn)資料介紹，問(wèn) 題解決概括起來(lái)先后有以下 兩種定義( 2 )1 9 8 0 年出版的 《 N C T M . P r o b l e m S o l v i n g i n S c h o o l M a t h e m a t i c s 》中美國(guó) 著名 數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家喬治 · 波利亞關(guān)于問(wèn)題解決的定義 所謂問(wèn)題解決，就是在沒(méi)有現(xiàn)成的解題方法時(shí)尋求一條繞過(guò)障礙的道路，

7、由適當(dāng)?shù)姆椒ㄟ_(dá)到所要去的而不能立即達(dá)到的目的。美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)管理大會(huì)( N C S M ) 在 1 9 9 8年發(fā)表的 《 2 1 世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》文件中指出: “ 問(wèn)題解決是把前面學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到新的和不熟悉的情境中的過(guò)程。 ”從數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度來(lái)看，所謂問(wèn)題解決就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動(dòng)過(guò)程，是以學(xué)生己有知識(shí)和能力為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程，是通過(guò)數(shù)學(xué)思維，不斷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，是一個(gè)探索、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程。從教育學(xué)角度來(lái)看， 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的

8、在于問(wèn)題解決，數(shù)學(xué)教育的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力， 而問(wèn)題解決的能力正是數(shù)學(xué)能力的核心。它是其它基本能力的綜 合和發(fā)展， 從心 理學(xué)角 度來(lái)看， 我國(guó)學(xué) 者還認(rèn)為問(wèn) 題解決是 人們?cè)谌粘Ｉ钪泻蜕鐣?huì)實(shí)踐中面臨新情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾，而自己卻沒(méi)有現(xiàn)成的對(duì)策時(shí)所引起的尋求處理問(wèn)題辦法的一種心理活動(dòng)，這種心理活動(dòng)對(duì)學(xué)生來(lái)講就是學(xué)習(xí)活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是一個(gè)正確觀點(diǎn)，因而學(xué)數(shù)學(xué)最好的辦法是做數(shù)學(xué)，而問(wèn)題解決的學(xué)

9、習(xí)則是一類(lèi)最重要的活動(dòng)。比較美國(guó)先后兩次對(duì)問(wèn)題解決的定義，前者較后者更加具體，而后者更加概括，兩者的意義是一致的。各種文獻(xiàn)中有不同的解釋?zhuān)珕?wèn)題解決在數(shù)學(xué)教育中的作用卻只有一個(gè)，那就是問(wèn)題解決可使現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育更加適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)這一基本矛盾，培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，樹(shù)立數(shù)學(xué)觀念。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值和功能。受波利亞的問(wèn)題 解決思 想的啟 示，1 9 8 0年的全美數(shù) 學(xué)教 師理事 會(huì)主張: “ 在解決問(wèn)題方面的成績(jī)?nèi)绾危?將是衡量數(shù)學(xué)教育成

10、效的有效標(biāo)準(zhǔn)。 ”同時(shí)把問(wèn)題解決的意義等作了如下的闡述:“ 數(shù)學(xué)上的問(wèn)題解決這一定義和詞匯應(yīng)當(dāng)發(fā)展和擴(kuò)充到包括各方面數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛策略、過(guò)程和描述模型。問(wèn)題解決包括把數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，為現(xiàn)在和將來(lái)的 理論 和實(shí)踐 科學(xué)服務(wù)，和解決延伸到數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿中的問(wèn) 題。 ’ ， ‘ 。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是創(chuàng)造性地靈活應(yīng)用已知數(shù)學(xué)事實(shí)。因此，數(shù)學(xué)問(wèn)題解 決一是可以 充分揭示已 知條件所蘊(yùn)含的 一切數(shù)學(xué)事實(shí)， 二是能用一定的技巧和選擇適當(dāng)?shù)?/p>

11、數(shù)學(xué)方法將已知條件蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)事實(shí)與待求的數(shù)學(xué)事實(shí)聯(lián)系起來(lái)，能切實(shí)地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。我們理解問(wèn)題解決是人們面臨新的問(wèn)題情境時(shí)，由于缺少現(xiàn)成對(duì)策和解決方法而引起的以提出并解決問(wèn)題為目標(biāo)的思考和探索過(guò)程。可見(jiàn)問(wèn)題解決中的問(wèn)題指的是非常規(guī)問(wèn)題。是一個(gè)對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒(méi)有現(xiàn)成的方法、程序或算法的未解決問(wèn)題的情境。 既然這種問(wèn)題解決的結(jié)果最終體現(xiàn)出非常規(guī)問(wèn)題解決的明顯特征，帶有鮮明的破舊立新、轉(zhuǎn)變觀念的特點(diǎn)?？赡軐?dǎo)致舊理論的解體和新理論的建立

12、，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。從數(shù)學(xué)的發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)是在問(wèn)題解決中產(chǎn)生的，并在解決各種問(wèn)題( 包括從實(shí)際中提出來(lái)) ，就是在解決某一數(shù)學(xué)問(wèn)題中引發(fā)出來(lái)的。例如，著名的哥尼斯堡 “ 七橋問(wèn)題” ，就是瑞士大數(shù)學(xué)家 E u l e r 于 1 7 3 6年在問(wèn)題解決中，把看似游戲的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、理想化，最終化歸為能否一筆畫(huà)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的解決成為數(shù)學(xué)研究中的重要分支之 一一 丹石 撲學(xué)的重要出發(fā)點(diǎn)。因此問(wèn)題解決是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重 要 因 素 之