平面系統(tǒng)退化奇點(diǎn)的單值性問題研究.pdf

1、在平面解析微分系統(tǒng)的定性理論研究中，如何確定系統(tǒng)的某個(gè)孤立奇點(diǎn)是否為焦點(diǎn)-中心類型，以及當(dāng)確定孤立奇點(diǎn)是焦點(diǎn)-中心類型后，進(jìn)一步確定何時(shí)是焦點(diǎn)，何時(shí)是中心是兩個(gè)尚未解決的經(jīng)典問題，其中常把焦點(diǎn)-中心型問題稱為單值性問題，這些與希爾伯特第十六問題的解決有密切的聯(lián)系。
　　 本文主要是圍繞著一類平面系統(tǒng)退化奇點(diǎn)的單值性問題進(jìn)行了研究，這類系統(tǒng)是由兩個(gè)齊次多項(xiàng)式和組成的特殊系統(tǒng)類。在平面解析微分系統(tǒng)的奇點(diǎn)單值性研究中，當(dāng)系統(tǒng)的線性部分

2、不全為零時(shí)，目前已經(jīng)有了比較完整的結(jié)果，而當(dāng)系統(tǒng)的線性部分全為零時(shí)，到目前為止，結(jié)果還很少，有待深入研究。有人曾研究過強(qiáng)加了限制條件比較強(qiáng)的兩個(gè)齊次多項(xiàng)式和的特殊系統(tǒng)類，利用blow-up技術(shù)給出了系統(tǒng)奇點(diǎn)為焦點(diǎn)-中心型的一個(gè)充分必要條件，并且給出了該奇點(diǎn)返回映射的首項(xiàng)表達(dá)式。本文所做的工作主要在該系統(tǒng)類的基礎(chǔ)之上，利用blow-up技術(shù)和奇點(diǎn)的分類定理研究了更廣泛的系統(tǒng)類，解決了該類系統(tǒng)奇點(diǎn)的單值性問題，同樣也給出了一個(gè)充分必要條件來

3、判斷該類系統(tǒng)的奇點(diǎn)是否是單值性的。最后用一個(gè)實(shí)例表明我們所研究的系統(tǒng)類的確是從本質(zhì)上進(jìn)行了推廣。
　　 本文的結(jié)論雖然是從本質(zhì)上推廣了這類系統(tǒng)的結(jié)果，但是本文所討論的平面系統(tǒng)還僅僅是相對(duì)比較簡(jiǎn)單的一類解析系統(tǒng)，并且對(duì)于這類系統(tǒng)，我們尚未給出一般性的結(jié)論。本文對(duì)系統(tǒng)所加的限制條件雖有所放寬，利用本文的結(jié)果判斷奇點(diǎn)單值性的系統(tǒng)類也有所擴(kuò)充，但是文中給出的結(jié)果還是有限的。對(duì)于不滿足本文中限制條件的退化系統(tǒng)來說，本文所給出的判斷其孤立奇