多項(xiàng)式系統(tǒng)的擬齊次分解與單值性問題.pdf

1、在平面微分系統(tǒng)定性理論研究中，重要課題之一是對(duì)系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類，并建立各類奇點(diǎn)的判別準(zhǔn)則，其中一個(gè)經(jīng)典的問題是判定何時(shí)它是單值的（即判定一個(gè)奇點(diǎn)是不是中心-焦點(diǎn)類型）。根據(jù)平面解析系統(tǒng)如果有軌線進(jìn)入系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)，則它只能螺旋形地進(jìn)入或沿固定方向進(jìn)入的事實(shí)可知：平面解析微分系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)是焦點(diǎn)-中心類型當(dāng)且僅當(dāng)沒有軌線沿固定方向離開（進(jìn)入）。當(dāng)奇點(diǎn)是非強(qiáng)退化（即系統(tǒng)在奇點(diǎn)的線性化矩陣非零）時(shí)，單值性問題已基本上解決，而對(duì)強(qiáng)退化的情

2、形，即使是解析系統(tǒng)，截止到目前仍然是一個(gè)沒有得到完全解決的經(jīng)典難題。
　　在大部分微分方程定性理論的經(jīng)典專著中，通常都是把解析系統(tǒng)進(jìn)行齊次分解，再根據(jù)特殊方向作出典型域來(lái)研究孤立強(qiáng)退化奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線的行為。但是這種方法計(jì)算十分麻煩，有時(shí)需要進(jìn)行無(wú)窮次計(jì)算從而使得問題實(shí)際上是難以解決的。近年來(lái)，許多數(shù)學(xué)家開始著手于利用解析系統(tǒng)的牛頓圖的有界邊把它進(jìn)行擬齊次分解來(lái)研究孤立強(qiáng)退化奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線的行為。
　　本文的第一個(gè)工作是基于固

3、定權(quán)向量（即牛頓圖的某條有界邊）的擬齊次多項(xiàng)式與擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)在通常的加法與數(shù)乘意義下都構(gòu)成線性空間這個(gè)事實(shí)，通過研究這樣的線性空間的維數(shù)與基底，給出解析系統(tǒng)的比較直觀且容易計(jì)算的擬齊次分解式，并用幾個(gè)具體的實(shí)例來(lái)實(shí)現(xiàn)這樣的分解式。
　　本文的另外一個(gè)工作是在這樣的擬齊次分解式基礎(chǔ)上，把微分方程定性理論中通過把解析系統(tǒng)進(jìn)行齊次分解來(lái)定性分析孤立強(qiáng)退化奇點(diǎn)的經(jīng)典問題而引進(jìn)的示性方程、特征方向或特殊方向、特征軌線、典型域及其性質(zhì)等推