多項(xiàng)式NTP曲線的逼近和插值.pdf

1、多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)全正(NTP)基混合控制頂點(diǎn)構(gòu)成的NTP參數(shù)曲線曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和幾何造型的基本工具之一.本文著重研究了NTP曲線曲面的逼近和插值問題。
　　 1.NTP曲線的約束逼近，對(duì)常見的NTP曲線，Said-Bézier型廣義Ball曲線和Delgado-Pena曲線，給出了一種統(tǒng)一算法實(shí)現(xiàn)低階的曲線近似表達(dá)高階曲線.利用NTP多項(xiàng)式基函數(shù)和單變量Jacobi多項(xiàng)式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及Jacobi多項(xiàng)式的正交性，把逼近問

2、題轉(zhuǎn)換為最小二乘問題，從而計(jì)算出逼近曲線的控制頂點(diǎn).降階算法有L2范數(shù)下誤差最小，端點(diǎn)高階插值，一次性降多階，降階曲線顯式表達(dá)，誤差先驗(yàn)估計(jì)等優(yōu)點(diǎn)。逼近方法簡(jiǎn)單快捷，因此將在CAD系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)通訊、數(shù)據(jù)壓縮等方面有重要的應(yīng)用價(jià)值。
　　 2.NTP曲線曲面的漸進(jìn)迭代逼近，在算法的收斂范圍內(nèi)，對(duì)常見的NTP曲線，張量積曲面和三角參數(shù)曲面，給出了帶權(quán)漸進(jìn)迭代逼近的顯式精確解。對(duì)于兩種NTP基，即Said-Bézier型廣義Ball基

3、或者Delgado-Pena基，給出相應(yīng)的基于Vandermonde矩陣顯式逆矩陣的插值曲線曲面的矩陣解.算法避免了矩陣求逆，所以在逆向工程中有重要的應(yīng)用價(jià)值。
　　 3.精確計(jì)算NTP-Vandermonde矩陣并用于數(shù)據(jù)點(diǎn)插值與擬合.給定區(qū)間(0，1)內(nèi)ι(ι≥n)個(gè)單調(diào)遞增的節(jié)點(diǎn)，n次Said-Bézier型廣義Ball基函數(shù)在這組節(jié)點(diǎn)下的配置矩陣：Said-Bézier-Vandermonde矩陣是嚴(yán)格全正矩陣.對(duì)這一類

4、NTP-Vandermonde矩陣，給出了雙對(duì)角分解的公式化結(jié)果，及計(jì)算雙對(duì)角分解矩陣的快速算法.算法具有高度的精確性，且降低了諸多運(yùn)算的復(fù)雜度，比如用于平面點(diǎn)列插值，相應(yīng)的線性方程組的求解復(fù)雜度可從O(n3)降到O(n2).通過一些應(yīng)用實(shí)例，如求線性方程組的解，求矩陣特征值以及最小二乘擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，驗(yàn)證了算法的正確性和精確性。
　　 4.弦長(zhǎng)參數(shù)化.給出了一種新的參數(shù)化方法，使得參數(shù)化后的Bézier曲線的參數(shù)盡可能地接近弦長(zhǎng)參