有理多項(xiàng)式曲線逼近的新方法【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　信息與計(jì)算科學(xué)</b></p><p>　　有理多項(xiàng)式曲線逼近的新方法</p><p>　　CAGD（計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)）是一門迅速發(fā)展的新興學(xué)科，它的核心問題是要解決工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的數(shù)學(xué)描述。它的出現(xiàn)和發(fā)展既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要求，又對(duì)現(xiàn)

2、在工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進(jìn)作用。它使幾何學(xué)從傳統(tǒng)時(shí)代進(jìn)入數(shù)字化定義的信息時(shí)代，煥發(fā)出勃勃生機(jī)。有理函數(shù)（有理曲線、有理曲面）在CAGD（計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)）學(xué)科中占有重要的地位，有廣泛和重要的應(yīng)用，它廣為人們接受，為CAGD的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。</p><p>　　由于有理曲線在幾何造型設(shè)計(jì)中有著廣泛和重要的應(yīng)用，但是相比較多項(xiàng)式曲線的形式較復(fù)雜，尤其是微分和積分的形式。因此用多項(xiàng)式逼近有理曲線的問題具

3、有重要的理論和實(shí)際意義，并已得到廣泛的研究。</p><p>　　Bézie曲線是參數(shù)多項(xiàng)式曲線，由于它采用一組獨(dú)特的多項(xiàng)式基函數(shù)，使得它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在諸多形式的參數(shù)多項(xiàng)式曲線中獨(dú)樹一幟，一經(jīng)問世，就受到工業(yè)界和CAGD學(xué)術(shù)界的廣泛重視，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人們對(duì)它情有獨(dú)鐘。Bézier方法在實(shí)踐中表現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力。</p><p>　　國(guó)內(nèi)外

4、研究文獻(xiàn)中已有許多多項(xiàng)式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的方法，例如：用混合多項(xiàng)式逼近有理函數(shù)、研究混合曲線控制點(diǎn)的移動(dòng)范圍、利用多項(xiàng)式逼近有理函數(shù)和有理曲線的收斂條件，研究區(qū)間有理Bézier曲線的邊界、基于有理函數(shù)的混合表達(dá)式用Hermite 多項(xiàng)式逼近有理Bézier曲線，研究多項(xiàng)式逼近有理曲線的收斂條件、用Hermite 多項(xiàng)式逼近有理Bézier曲線的遞歸方法，以及通過

5、用低階的多項(xiàng)式曲線來插值有理參數(shù)曲線等。</p><p>　　此外，由于Bézier曲線可以不斷升階，從而得到一個(gè)控制多邊形序列，它們都定義同一條Bézier曲線。這個(gè)多邊形序列將收斂都一個(gè)極限，就是所定義的Bézier曲線。因此可以通過升階的方法使Bézier曲線一致收斂到有理多項(xiàng)式Bézier曲線。例如：參考文獻(xiàn)[7]中提到的方法：對(duì)一個(gè)任意給定連續(xù)升階的有理

6、Bézier曲線，用它的控制點(diǎn)構(gòu)造Bézier曲線的控制點(diǎn)，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對(duì)應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　這些方法各有特點(diǎn)，各有自己的適用場(chǎng)合，但是關(guān)于這一問題顯然還有值得完善和改進(jìn)的地方。我將在已有研究方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)新的Bézier曲線，實(shí)現(xiàn)用新構(gòu)造的多項(xiàng)式Bézier

7、曲線逼近原有理Bézier曲線，與現(xiàn)有的研究方法相比，更具幾何直觀性，方法更簡(jiǎn)潔直接，并且將盡可能提高逼近精度，便于計(jì)算機(jī)操作與應(yīng)用的實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　研究的主要內(nèi)容有以下幾點(diǎn)：</p><p>　　構(gòu)造新的多項(xiàng)式Bézier曲線的解析表達(dá)式。</p><p>　　根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，對(duì)一個(gè)任意給定連續(xù)升階的有理Bézier曲

8、線，用它的控制點(diǎn)構(gòu)造Bézier曲線的控制點(diǎn)，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對(duì)應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù),記升階后的有理Bézier曲線的控制點(diǎn)為{}，根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]中的引理1：(See Farin, 1999.) 當(dāng) 有理Bézier曲線不斷升階，它的控制點(diǎn)一致收斂到，用 {}和的線性組合構(gòu)造新的控制點(diǎn)，用這些線性變化的控制點(diǎn)作為多項(xiàng)式B&#

9、233;zier曲線的控制點(diǎn)，以此實(shí)現(xiàn)課題研究的目的，用構(gòu)造的多項(xiàng)式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線。</p><p>　　2、根據(jù)研究方案，找到線性變化的控制點(diǎn)，具體計(jì)算幾個(gè)有代表性的算例，這里選4階、5階、6階的Bézier曲線逼近同階的有理Bézier曲線，以此說明用構(gòu)造的新的多項(xiàng)式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線的有效性和可行

10、性。</p><p>　　3、整理用代表性算例計(jì)算的算法和結(jié)果，針對(duì)算例中出現(xiàn)的問題，提高逼近精度。</p><p>　?、?、在Bézier曲線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，移動(dòng)Bézier曲線的控制點(diǎn)，調(diào)整逼近的方法。</p><p>　?、?、修正逼近的精度的算法。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b>&

11、lt;/p><p>　　[1] 王國(guó)謹(jǐn),汪國(guó)昭,鄭建明,計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì).北京市:高等教育出版社,2001.36-46.</p><p>　　[2] 陳效群,陳發(fā)來,陳長(zhǎng)松.有理曲線的多項(xiàng)式逼近[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯（中文版）,1998,(S1).</p><p>　　[3] 壽華好,王國(guó)瑾.區(qū)間Bezier曲線的邊界[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯（中文版）,1

12、998,(S1).</p><p>　　[4] 陳效群,婁文平.有理曲線的區(qū)間Bezier曲線的逼近[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2001,(04).</p><p>　　[5] 孟祥國(guó),王仁宏.有理曲面的區(qū)間Bezier曲面的逼近[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算應(yīng)用，2003,(04).</p><p>　　[6] Thomas W. Sederberg ,Masanori

13、 Kakimoto, Approximating rational curves using polynomial curves, in NURBS for Curve and Surface Design, G. Farin, ed., SIAM, Philadelphia, 1991, pp. 149--158.</p><p>　　[7] Huang Youdu ,Su Huaming ,Lin Hongw