有理系統(tǒng)下的多項(xiàng)式插值問(wèn)題.pdf

1、本論文主要討論了有理系統(tǒng)下的多項(xiàng)式插值問(wèn)題，最近文獻(xiàn)[3]中G.Min討論了有理系統(tǒng)Pn(a1，a2，…，an)下的第一類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式Tn(x)零點(diǎn)為插值結(jié)點(diǎn)的Hermite-Fejér插值和Grünwald插值，并得到了Hermite-Fejér插值算子在[-1，1]上一致收斂于f(x)和Grünwald插值算子的內(nèi)閉一致收斂性。 本文繼續(xù)研究以實(shí)有理系統(tǒng)Pn(a1，a2，…，an)下的第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)

2、式Un(x)的全部零點(diǎn){xk}n-1k=1為插值結(jié)點(diǎn)的擬Hermite-Fejér插值和擬Grünwald插值，從而研究其相關(guān)性質(zhì)，以及研究非有理系統(tǒng)下以經(jīng)典的第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)為插值結(jié)點(diǎn)的Hermite-Fejér插值加權(quán)Ln下的收斂速度，全文共分四部分. 文章的第一部分詳細(xì)介紹了實(shí)有理系統(tǒng)Pn(a1，a2，…，an)及有理系統(tǒng)下的第一類(lèi)和第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式的定義及性質(zhì). 文章的第二部分考慮

3、實(shí)以有理系統(tǒng)Pn(a1，a2，…，an)下的第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式Un(x)的全部零點(diǎn){xk}n-1k=1為插值結(jié)點(diǎn)的廣義的Hermite算子和擬Grünwald算子的收斂性。若取hk(x)=[1-2lkxk)x-xk)]·l2k(x),lk(x)=Un(x)/U'n(xk)(x-xk)，發(fā)現(xiàn)n-1∑k=1|hk(x)|無(wú)界，不能得到Hermite-Fejér插值相應(yīng)的收斂性質(zhì).由于|√1-x2Un(x)|≤1，因此考慮取xk(

4、x)=√1-x2/√1-x2k·lk(x)=√1-x2/√1-x2k·Un(x)/U'n(xk)(x-xk)，用xk(x)代替hk(x)中的lk(x)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)n-1∑k=1|hk(x)|=O(1)，因此我們定義相應(yīng)的Hermite插值多項(xiàng)式和擬Grünwald插值多項(xiàng)式如下：Hn-1(f，x)：=n-1∑k=1f(xk)hk(x)+∑f’(xk)σk(x)G*n-1(f,x)=f(1)·1+x/2·U2n(x)/U2n(1)+f(

5、-1)·1-x/2·U2n(x)/U2n(-1)+n-1∑k=1f(xk)x2k(x)其中：hk(x)=[1-2x'k(xk)(x-xk)]·x2k(x)，σk(x)=(x-xk)x2k(x)xk(x)=√1-x2/√1-x2k·Un(x)/U'n(xk)(x-xk)，k=1,2,…,n-1在這個(gè)定義下，對(duì)p∈R2n-1(a1，a2，…，an)貝有Hn-1(p，x)=p+O(1)·1/n2x∈(-1，1)本節(jié)給出了上述Hermite-F

6、ejér插值算子在[-1+σ,1-σ]，σ＞0上一致收斂于f(x)和擬Grünwald插值算子的內(nèi)閉一致收斂性. 文章的第三部分考慮x=±1也作為插值結(jié)點(diǎn)修改了Hermite插值多項(xiàng)式如下：H*n-1(f,x)=f(1)·1+x/2·U2n(x)/U2n(1)+f(-1)·1-x/2·U2n(x)/U2n(-1)+n-1∑k=1f(xk)hk(x)+n-1∑k=1f'(xk)σk(x)hk(x)，σk(x)不變。在這個(gè)定義下，對(duì)

7、p∈R2n-1(a1，a2，…，an)則有H：-1(p，x)=px∈[-1，1]，也得出了Hermite-Fejér插值算子在[-1+σ,1-σ]，σ＞0上一致收斂于f(x)和擬Grünwald插值算子的內(nèi)閉一致收斂性。 文章的第四部分考慮非有理系統(tǒng)下以經(jīng)典的第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)為插值結(jié)點(diǎn)的Hermite-Fejér插值加權(quán)Lp下的收斂速度，其中：權(quán)函數(shù)為ψ(x)=(1-x2)α(α≥-1/2，0＜p＜2α+2)，

8、給出了如下定理：定理當(dāng)0＜p＜2α+2，α≥-1/2，對(duì)任何f∈C[-1,1]有{C((ωψ(f，1/n)+1/n‖f‖∞)α＞p-1(∫11|Hn(f，x)-f(x)|p(1-x2)αdx)1/p≤{C((ωψ(f，1/n)+lnn/n‖f‖∞)α=p-1{C((ωψ(f，1/n)+n1-2α+2‖f‖∞)-1/n≤α＜p-1指出當(dāng)p≥2α+2，(α≥-1/n)時(shí)存在函數(shù)使limn→∞∫11|Hn(f，x)-f(x)|p(1-x2)α