張量特征值與多項(xiàng)式優(yōu)化中的若干問題.pdf

1、由于張量在信號(hào)處理，數(shù)據(jù)分析，化學(xué)計(jì)量學(xué)，心理學(xué)，彌散核磁共振，量子物理，彈性材料分析，高階馬爾科夫鏈和超圖理論等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，近十年來，張量成為一個(gè)熱門的話題，特別是高階張量的特征值問題在應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支:多重線性代數(shù)中顯得越來越重要。本論文著重研究張量的特征值問題和相關(guān)的多項(xiàng)式優(yōu)化問題，包括以下五個(gè)方面:非負(fù)正方張量的H-特征值的性質(zhì)和算法;非負(fù)長(zhǎng)方張量的H-奇異值的性質(zhì)和算法;超對(duì)稱張量的Z-特征值的性質(zhì)和算法;雙二次

2、優(yōu)化問題的近似界和近似算法;三線性優(yōu)化問題的近似界和近似算法。
　　本論文的主要貢獻(xiàn)包括:首先，給出非負(fù)正方張量的許多新的性質(zhì)。具體的，給出了一個(gè)判斷張量是否不可約的簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)準(zhǔn)則;研究了非負(fù)正方張量的H-特征值的分布;證明了對(duì)于一個(gè)偶數(shù)階的非負(fù)不可約正方張量，其譜半徑是一幾何單根;特別的，展示了一個(gè)非負(fù)正方張量的最大H-特征值可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求出，并給出相應(yīng)的算法。第二，將許多非負(fù)正方張量上的結(jié)果推廣到長(zhǎng)方張量上。第三，研究了

3、4階超對(duì)稱張量的最小Z-特征值問題。將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩陣規(guī)劃問題，并且證明該問題與其對(duì)偶問題沒有對(duì)偶間隙。給出該問題的兩個(gè)松弛模型，并提出新的方法去求解它們。數(shù)值結(jié)果顯示方法的有效性。接著，對(duì)于雙二次多項(xiàng)式優(yōu)化問題，由于該問題的NP困難性，設(shè)計(jì)相應(yīng)的近似算法去求問題的近似解，并且分析了算法的近似界。也給出了相應(yīng)于算法的數(shù)值結(jié)果。最后，對(duì)于三線性多項(xiàng)式優(yōu)化問題，同樣也設(shè)計(jì)相應(yīng)的近似算法并且也分析了算法的近似界。部分近似界結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)中的