基于對(duì)數(shù)均值回復(fù)模型的VIX建模.pdf

1、自從2004年3月26日芝加哥期權(quán)交易所(CBOE)專門成立期貨交易所CFE(CBOE Future Exchange)并開始交易基于S&P500波動(dòng)率指數(shù)VIX的期貨，過去幾年中波動(dòng)率已經(jīng)被交易員、投資者和基金經(jīng)理廣泛接受為一種資產(chǎn)類型，并用于投資、分散和對(duì)沖資產(chǎn)組合中的集中度和尾部風(fēng)險(xiǎn)。2006年2月24日，CBOE又推出了基于VIX指數(shù)的的期權(quán)。現(xiàn)在，VIX期權(quán)已經(jīng)成為CBOE交易最為活躍的期權(quán)系列。
　　本論文主要工作在于

2、對(duì)VIX指數(shù)進(jìn)行獨(dú)立建模。部分文獻(xiàn)中對(duì)VIX采用一致性建模方法。該方法以S&P500指數(shù)(SPX)和它的隨機(jī)波動(dòng)率建模為起點(diǎn)，并且基于這個(gè)動(dòng)態(tài)模型根據(jù)VIX的定義得到VIX表達(dá)式，從而可以基于這個(gè)表達(dá)式對(duì)VIX期貨和VIX期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。與文獻(xiàn)中VIX指數(shù)的一致性建模方法不同，獨(dú)立建模方法直接指定VIX指數(shù)的動(dòng)態(tài)過程，并基于這個(gè)動(dòng)態(tài)過程對(duì)VIX衍生品進(jìn)行定價(jià)。
　　雖然文獻(xiàn)中有關(guān)于對(duì)數(shù)均值回復(fù)VIX模型（MRLR）的研究，目前尚未有

3、文獻(xiàn)考慮具有隨機(jī)波動(dòng)率的MRLR模型用于刻畫VIX期權(quán)市場中的正向波動(dòng)率偏斜。文獻(xiàn)中也沒有比較基于純粹擴(kuò)散的MRLR模型與考慮跳擴(kuò)散和/或隨機(jī)波動(dòng)率的MRLR模型的優(yōu)劣。而且，大部分現(xiàn)有文獻(xiàn)注重推導(dǎo)VIX期貨和期權(quán)的靜態(tài)定價(jià)公式，而沒有研究VIX期貨的動(dòng)態(tài)性質(zhì)、VIX期貨和VIX期權(quán)的校正與對(duì)沖策略，以及從遠(yuǎn)期方差互換到VIX期貨的凸度調(diào)整。其中，遠(yuǎn)期方差互換可以用流動(dòng)性很高的方差互換進(jìn)行復(fù)制，并且能夠用于估計(jì)MRLR模型中的波動(dòng)率的波

4、動(dòng)率（vol-of-vol）參數(shù)。
　　本文考慮了四個(gè)對(duì)數(shù)均值回復(fù)的VIX模型。第一個(gè)模型是純粹基于擴(kuò)散的的VIX模型，并且稱為MRLR模型。之后，本文將這個(gè)基本的MRLR模型推廣到包含泊松跳或隨機(jī)波動(dòng)率，從而得到推廣后的MRLRJ模型和MRLRSV模型。最后，本文在VIX指數(shù)動(dòng)態(tài)過程中同時(shí)考慮泊松跳和隨機(jī)波動(dòng)率，并得到一個(gè)最全面的MRLRSVJ模型。
　　對(duì)于這四個(gè)模型，本文推導(dǎo)了它們的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)或者條件特征函數(shù)?；?/p>

5、于這些結(jié)果，本文推導(dǎo)了VIX期貨和VIX期權(quán)的定價(jià)公式。為了能夠很好的擬合VIX期貨期限結(jié)構(gòu)，本文假設(shè)VIX動(dòng)態(tài)過程的長期均值是時(shí)變函數(shù)，并且用這個(gè)函數(shù)來擬合VIX期貨期限結(jié)構(gòu)。此外，擴(kuò)散、泊松跳和隨機(jī)波動(dòng)率的參數(shù)被用于擬合VIX隱含波動(dòng)率曲面。
　　本文建議了兩種參數(shù)校正方法。對(duì)于MRLR形式的VIX模型，參數(shù)校正的第一個(gè)階段是對(duì)VIX指數(shù)或者VIX期貨中波動(dòng)率的波動(dòng)率(vol-of-vol)的擬合，從而決定vol-of-vol

6、的擴(kuò)散、泊松跳和隨機(jī)波動(dòng)率參數(shù)可以被估計(jì)出來。這個(gè)校正階段的第一種方法是用這些參數(shù)擬合VIX隱含波動(dòng)率曲面。第二種方法是將這些參數(shù)用于擬合遠(yuǎn)期方差互換中的VIX凸度。之所以擬合遠(yuǎn)期方差互換，是因?yàn)樗琕IX指數(shù)和VIX期貨的的凸度并且方差互換市場的流動(dòng)性非常高?；诘谝浑A段的參數(shù)擬合，VIX指數(shù)的長期均值函數(shù)可以用于擬合VIX期貨的期限結(jié)構(gòu)。
　　除了VIX期貨和VIX期權(quán)的靜態(tài)定價(jià)公式，本文還推導(dǎo)了VIX期貨的動(dòng)態(tài)過程。本文的

7、結(jié)論指出，MRLR模型下VIX期貨服從一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，MRLRJ模型下VIX期貨服從跳擴(kuò)散模型，MRLRSV模型下VIX期貨服從隨機(jī)波動(dòng)率模型，以及MRLRSVJ模型下VIX期貨服從隨機(jī)波動(dòng)率跳擴(kuò)散模型。
　　本文還推導(dǎo)了基于對(duì)數(shù)均值VIX模型下的VIX期貨與期權(quán)對(duì)沖策略。由于VIX指數(shù)本身不是可交易資產(chǎn)，投資者不能直接建立該指數(shù)的交易頭寸。文獻(xiàn)中的研究結(jié)果指出，較短期限的VIX期貨對(duì)下一個(gè)期限的VIX期貨的走勢具有很好的預(yù)測能

8、力。因此，用較短期限的VIX期貨對(duì)沖較長期限的VIX期貨是一個(gè)非常自然的對(duì)沖策略并可以期待這個(gè)策略表現(xiàn)較好。此外，VIX期權(quán)作為基于VIX指數(shù)的期權(quán)，它也可以視為基于具有同樣期限的VIX期貨的期權(quán)。從而，用較短期限的VIX期貨合約對(duì)沖較長期限的VIX期權(quán)合約也是非常自然的對(duì)沖策略。本文中推導(dǎo)了基于上述對(duì)沖策略的VIX期貨與VIX期權(quán)的對(duì)沖公式。
　　最后，本文用數(shù)值分析比較四個(gè)模型對(duì)VIX隱含波動(dòng)率曲面的擬合效果。文中結(jié)果指出,M