基于變分和偏微分方程的圖像去噪與修復(fù)研究.pdf

1、本文采用變分(variational)和偏微分方程(partial differential equation，PDE)作為工具來研究低層圖像處理中的兩個重要問題——圖像去噪與圖像修復(fù)。它們都涉及由退化的噪聲圖像或破損圖像來估計未退化圖像,顯然,圖像去噪與圖像修復(fù)都是逆問題并且是非適定的,因?yàn)槲覀兺ǔo法獲得足夠的信息(或者說充分必要條件)來保證原始圖像能夠被唯一正確地恢復(fù)。
　　PDE進(jìn)入這些領(lǐng)域應(yīng)歸功于Koenderink和W

2、itkin的奠基性工作。Koenderink指出高斯濾波是常見的PDE——熱方程的解,以此建立了PDE同經(jīng)典線性卷積濾波的聯(lián)系。該思想同Witkin提出的尺度空間(scale space)概念結(jié)合建立了PDE圖像處理的基礎(chǔ)。PDE是數(shù)學(xué)的最重要部分之一,PDE解的計算是當(dāng)前科學(xué)計算(scientific computing)中主要關(guān)注的問題,它的注入,使傳統(tǒng)圖像處理采用的數(shù)學(xué)工具突破了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)子集的范疇,成為圖像處理中活躍的現(xiàn)代研究

3、工具之一。
　　本文的主要工作及創(chuàng)新成果如下:
　　首先,本文在分析討論變分PDE圖像去噪模型變分(variational)表達(dá)、散度(divergence)算子表達(dá)和跡(trace)算子表達(dá)不同去噪行為描述特性的基礎(chǔ)上,通過推導(dǎo)它們在線性和非線性情況下的相互轉(zhuǎn)換條件和轉(zhuǎn)換關(guān)系,建立了對變分PDE圖像去噪模型依賴于上述三種表達(dá)的從全局到局部或反過來從局部到全局的分層次分析方法。這三類表達(dá)對去噪行為的描述依次從全局逐漸過渡到局

4、部且前一類可看成是后一類的子集,相應(yīng)的模型設(shè)計靈活性也逐步增加。這種分層次的分析方法不僅可幫助我們從不同的層次和物理背景來分析理解模型的去噪行為,還可以進(jìn)一步幫助設(shè)計出更加高效的去噪模型。
　　在上述分層次分析方法的支撐下,提出了一種綜合全局和局部描述優(yōu)點(diǎn)的去噪模型——結(jié)合約束項(xiàng)的方向性1D Laplacians去噪模型。方向性1D Laplacians去噪模型是一種基于跡算子的模型,其可方便地描述模型的局部行為并具有很高的模型設(shè)

5、計靈活性,但與大多數(shù)基于直接PDE的去噪模型一樣,該模型不能自動收斂到一個最優(yōu)狀態(tài),而是隨著平滑的進(jìn)行產(chǎn)生一個由細(xì)到粗的尺度空間。而基于變分表達(dá)的模型具有明顯的全局意義,因此可方便地引入全局約束項(xiàng),借助正則化項(xiàng)和約束項(xiàng)的相互作用,該類模型可自動收斂到一個最優(yōu)狀態(tài)。通過分析變分表達(dá)與跡算子表達(dá)間轉(zhuǎn)換關(guān)系,本文將變分表達(dá)中的全局噪聲約束引入方向性1D Laplacians去噪模型,這樣不僅克服了其不能自動收斂的缺點(diǎn),還進(jìn)一步增強(qiáng)了其去噪性能

6、。
　　在圖像修復(fù)領(lǐng)域中,雖然近年來已經(jīng)有一些基于變分和PDE的圖像修復(fù)算法相繼提出,但在這些算法中模型的建立背景、數(shù)學(xué)描述形式及分析方法各不相同,難以統(tǒng)一地、有效地分析它們的修復(fù)性能。本論文在對變分PDE圖像去噪和修復(fù)聯(lián)系與區(qū)別討論的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步將上述對圖像去噪模型的分層次分析方法擴(kuò)展到了圖像修復(fù)領(lǐng)域,建立了對變分PDE圖像去噪模型的分層次分析方法。
　　在上述對變分PDE圖像修復(fù)模型分層次分析方法的支撐下,提出了一種高

7、效穩(wěn)定的基于各向異性擴(kuò)散的圖像修復(fù)模型,進(jìn)一步完善了該分析體系。該模型是一種基于散度算子的圖像修復(fù)模型,其將圖像的修復(fù)過程看成是信息從破損區(qū)域邊緣向其內(nèi)部的化學(xué)濃度擴(kuò)散過程,其中的擴(kuò)散方向和相應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)完全由擴(kuò)散張量決定。在擴(kuò)散張量的設(shè)計中,通過引入結(jié)構(gòu)張量從而可以獲得更相關(guān)的圖像局部結(jié)構(gòu)幾何并以此引導(dǎo)擴(kuò)散,其中在垂直于相關(guān)等照度線方向的擴(kuò)散系數(shù)設(shè)計中考慮了圖像結(jié)構(gòu)的幾何信息——曲率,使得該模型能夠滿足人類視覺的“連接性準(zhǔn)則”。借助擴(kuò)

8、散張量,該模型還可以進(jìn)一步引入沿相關(guān)等照度線方向的擴(kuò)散,克服了CDD模型修復(fù)速度慢的缺點(diǎn)。模擬圖像和真實(shí)圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法在修復(fù)中不僅可以保持“連接性準(zhǔn)則”和邊緣的尖銳性,還可以大幅度提高修復(fù)速度。
　　在上述對變分PDE圖像修復(fù)模型分層次分析方法的支撐下,提出了一種曲率驅(qū)動的方向性1D Laplaicans圖像修復(fù)模型,同時又進(jìn)一步完善了該分析體系。該模型是一種基于跡算子的修復(fù)模型,其將圖像中破損區(qū)域的修復(fù)過程看成是兩個

9、相互垂直并且加權(quán)的1D方向性平滑的耦合。其中的平滑方向由圖像的局部相關(guān)幾何決定,而平滑強(qiáng)度是一個曲率相關(guān)的函數(shù),該模型不僅能夠保證修復(fù)邊緣的尖銳性還可以減少修復(fù)過程中虛假邊緣的產(chǎn)生。
　　提出了一種綜合自適應(yīng)閾值與多尺度的總變分(TV)圖像修復(fù)算法?；赥V模型的圖像修復(fù)算法具有較好的修復(fù)效果,但其對參數(shù)的選取較敏感,且運(yùn)算量較大。本文在分析其參數(shù)對去噪行為影響的基礎(chǔ)上,提出了一種綜合自適應(yīng)閾值與多尺度的TV圖像修復(fù)算法,該算法不

10、僅可以提高TV圖像修復(fù)模型的修復(fù)穩(wěn)定性,還可以進(jìn)一步壓縮運(yùn)算量,提高修復(fù)速度。
　　提出了一種快速的基于曲率驅(qū)動擴(kuò)散(CDD)的圖像修復(fù)模型。CDD模型由于滿足“連接性準(zhǔn)則”,其對較大破損區(qū)域及細(xì)小邊緣具有良好的修復(fù)能力,但是其修復(fù)速度較慢。本文在對CDD模型保持“連接性準(zhǔn)則”和修復(fù)速度分析的基礎(chǔ)上提出了一種快速的基于曲率驅(qū)動擴(kuò)散(CDD)的圖像修復(fù)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該模型在保證與CDD模型相近修復(fù)質(zhì)量的情況下可以大幅度地提高修

11、復(fù)速度。
　　基于跡算子的模型與傳統(tǒng)的對圖像進(jìn)行高斯卷積的圖像處理方法間有著密切的聯(lián)系,即基于跡算子的模型相當(dāng)于采用空間和時間變化的高斯核對圖像進(jìn)行卷積。在該特性的啟發(fā)下本文提出了一種快速的非迭代自適應(yīng)模板圖像修復(fù)算法。該算法首先通過對待修復(fù)點(diǎn)臨域像素梯度值進(jìn)行排序,估計出該點(diǎn)的等照度線方向,從而自適應(yīng)地確定其修復(fù)模板,然后利用快進(jìn)法(fast marching method)確定修復(fù)路徑并完成對整個破損區(qū)域的修復(fù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該