基于變分和偏微分方程的圖像去噪與修復(fù)研究.pdf

1、本文采用變分(variational)和偏微分方程(partial differential equation，PDE)作為工具來(lái)研究低層圖像處理中的兩個(gè)重要問(wèn)題——圖像去噪與圖像修復(fù)。它們都涉及由退化的噪聲圖像或破損圖像來(lái)估計(jì)未退化圖像,顯然,圖像去噪與圖像修復(fù)都是逆問(wèn)題并且是非適定的,因?yàn)槲覀兺ǔo(wú)法獲得足夠的信息(或者說(shuō)充分必要條件)來(lái)保證原始圖像能夠被唯一正確地恢復(fù)。
　　PDE進(jìn)入這些領(lǐng)域應(yīng)歸功于Koenderink和W

2、itkin的奠基性工作。Koenderink指出高斯濾波是常見(jiàn)的PDE——熱方程的解,以此建立了PDE同經(jīng)典線性卷積濾波的聯(lián)系。該思想同Witkin提出的尺度空間(scale space)概念結(jié)合建立了PDE圖像處理的基礎(chǔ)。PDE是數(shù)學(xué)的最重要部分之一,PDE解的計(jì)算是當(dāng)前科學(xué)計(jì)算(scientific computing)中主要關(guān)注的問(wèn)題,它的注入,使傳統(tǒng)圖像處理采用的數(shù)學(xué)工具突破了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)子集的范疇,成為圖像處理中活躍的現(xiàn)代研究

3、工具之一。
　　本文的主要工作及創(chuàng)新成果如下:
　　首先,本文在分析討論變分PDE圖像去噪模型變分(variational)表達(dá)、散度(divergence)算子表達(dá)和跡(trace)算子表達(dá)不同去噪行為描述特性的基礎(chǔ)上,通過(guò)推導(dǎo)它們?cè)诰€性和非線性情況下的相互轉(zhuǎn)換條件和轉(zhuǎn)換關(guān)系,建立了對(duì)變分PDE圖像去噪模型依賴于上述三種表達(dá)的從全局到局部或反過(guò)來(lái)從局部到全局的分層次分析方法。這三類(lèi)表達(dá)對(duì)去噪行為的描述依次從全局逐漸過(guò)渡到局

4、部且前一類(lèi)可看成是后一類(lèi)的子集,相應(yīng)的模型設(shè)計(jì)靈活性也逐步增加。這種分層次的分析方法不僅可幫助我們從不同的層次和物理背景來(lái)分析理解模型的去噪行為,還可以進(jìn)一步幫助設(shè)計(jì)出更加高效的去噪模型。
　　在上述分層次分析方法的支撐下,提出了一種綜合全局和局部描述優(yōu)點(diǎn)的去噪模型——結(jié)合約束項(xiàng)的方向性1D Laplacians去噪模型。方向性1D Laplacians去噪模型是一種基于跡算子的模型,其可方便地描述模型的局部行為并具有很高的模型設(shè)

5、計(jì)靈活性,但與大多數(shù)基于直接PDE的去噪模型一樣,該模型不能自動(dòng)收斂到一個(gè)最優(yōu)狀態(tài),而是隨著平滑的進(jìn)行產(chǎn)生一個(gè)由細(xì)到粗的尺度空間。而基于變分表達(dá)的模型具有明顯的全局意義,因此可方便地引入全局約束項(xiàng),借助正則化項(xiàng)和約束項(xiàng)的相互作用,該類(lèi)模型可自動(dòng)收斂到一個(gè)最優(yōu)狀態(tài)。通過(guò)分析變分表達(dá)與跡算子表達(dá)間轉(zhuǎn)換關(guān)系,本文將變分表達(dá)中的全局噪聲約束引入方向性1D Laplacians去噪模型,這樣不僅克服了其不能自動(dòng)收斂的缺點(diǎn),還進(jìn)一步增強(qiáng)了其去噪性能

6、。
　　在圖像修復(fù)領(lǐng)域中,雖然近年來(lái)已經(jīng)有一些基于變分和PDE的圖像修復(fù)算法相繼提出,但在這些算法中模型的建立背景、數(shù)學(xué)描述形式及分析方法各不相同,難以統(tǒng)一地、有效地分析它們的修復(fù)性能。本論文在對(duì)變分PDE圖像去噪和修復(fù)聯(lián)系與區(qū)別討論的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步將上述對(duì)圖像去噪模型的分層次分析方法擴(kuò)展到了圖像修復(fù)領(lǐng)域,建立了對(duì)變分PDE圖像去噪模型的分層次分析方法。
　　在上述對(duì)變分PDE圖像修復(fù)模型分層次分析方法的支撐下,提出了一種高

7、效穩(wěn)定的基于各向異性擴(kuò)散的圖像修復(fù)模型,進(jìn)一步完善了該分析體系。該模型是一種基于散度算子的圖像修復(fù)模型,其將圖像的修復(fù)過(guò)程看成是信息從破損區(qū)域邊緣向其內(nèi)部的化學(xué)濃度擴(kuò)散過(guò)程,其中的擴(kuò)散方向和相應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)完全由擴(kuò)散張量決定。在擴(kuò)散張量的設(shè)計(jì)中,通過(guò)引入結(jié)構(gòu)張量從而可以獲得更相關(guān)的圖像局部結(jié)構(gòu)幾何并以此引導(dǎo)擴(kuò)散,其中在垂直于相關(guān)等照度線方向的擴(kuò)散系數(shù)設(shè)計(jì)中考慮了圖像結(jié)構(gòu)的幾何信息——曲率,使得該模型能夠滿足人類(lèi)視覺(jué)的“連接性準(zhǔn)則”。借助擴(kuò)

8、散張量,該模型還可以進(jìn)一步引入沿相關(guān)等照度線方向的擴(kuò)散,克服了CDD模型修復(fù)速度慢的缺點(diǎn)。模擬圖像和真實(shí)圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法在修復(fù)中不僅可以保持“連接性準(zhǔn)則”和邊緣的尖銳性,還可以大幅度提高修復(fù)速度。
　　在上述對(duì)變分PDE圖像修復(fù)模型分層次分析方法的支撐下,提出了一種曲率驅(qū)動(dòng)的方向性1D Laplaicans圖像修復(fù)模型,同時(shí)又進(jìn)一步完善了該分析體系。該模型是一種基于跡算子的修復(fù)模型,其將圖像中破損區(qū)域的修復(fù)過(guò)程看成是兩個(gè)

9、相互垂直并且加權(quán)的1D方向性平滑的耦合。其中的平滑方向由圖像的局部相關(guān)幾何決定,而平滑強(qiáng)度是一個(gè)曲率相關(guān)的函數(shù),該模型不僅能夠保證修復(fù)邊緣的尖銳性還可以減少修復(fù)過(guò)程中虛假邊緣的產(chǎn)生。
　　提出了一種綜合自適應(yīng)閾值與多尺度的總變分(TV)圖像修復(fù)算法?；赥V模型的圖像修復(fù)算法具有較好的修復(fù)效果,但其對(duì)參數(shù)的選取較敏感,且運(yùn)算量較大。本文在分析其參數(shù)對(duì)去噪行為影響的基礎(chǔ)上,提出了一種綜合自適應(yīng)閾值與多尺度的TV圖像修復(fù)算法,該算法不

10、僅可以提高TV圖像修復(fù)模型的修復(fù)穩(wěn)定性,還可以進(jìn)一步壓縮運(yùn)算量,提高修復(fù)速度。
　　提出了一種快速的基于曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散(CDD)的圖像修復(fù)模型。CDD模型由于滿足“連接性準(zhǔn)則”,其對(duì)較大破損區(qū)域及細(xì)小邊緣具有良好的修復(fù)能力,但是其修復(fù)速度較慢。本文在對(duì)CDD模型保持“連接性準(zhǔn)則”和修復(fù)速度分析的基礎(chǔ)上提出了一種快速的基于曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散(CDD)的圖像修復(fù)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該模型在保證與CDD模型相近修復(fù)質(zhì)量的情況下可以大幅度地提高修

11、復(fù)速度。
　　基于跡算子的模型與傳統(tǒng)的對(duì)圖像進(jìn)行高斯卷積的圖像處理方法間有著密切的聯(lián)系,即基于跡算子的模型相當(dāng)于采用空間和時(shí)間變化的高斯核對(duì)圖像進(jìn)行卷積。在該特性的啟發(fā)下本文提出了一種快速的非迭代自適應(yīng)模板圖像修復(fù)算法。該算法首先通過(guò)對(duì)待修復(fù)點(diǎn)臨域像素梯度值進(jìn)行排序,估計(jì)出該點(diǎn)的等照度線方向,從而自適應(yīng)地確定其修復(fù)模板,然后利用快進(jìn)法(fast marching method)確定修復(fù)路徑并完成對(duì)整個(gè)破損區(qū)域的修復(fù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該