31207.幾個反問題的數值計算和分析

1、NumeicalComputationandAnalysisforSomeInverseProblemsXuanZhengSupervisor：ProfXiaoliangChengDeptMathematicsMay，2014SubmittedintotalfulfilmentoftherequirementsfoIrthedegreeoPhDinComputationalMathematics摘要由于在生命科學、地球物理、信號／圖像處

2、理、材料科學、信息與控制等領域的廣泛應用，數學物理中的反問題近年來已經發(fā)展成為數學與工程領域中一個熱門的研究方向反問題是相對于正問題而言的，從數學角度來說，它可以描述為由問題解的部分己知信息來求數學公式或方程中的某些未知信息反問題一般不適定，因為其解對輸入的測量數據十分敏感，很小的輸入數據的誤差就能導致解的巨大波動因此，對反問題求解方法的研究頗具挑戰(zhàn)性本文我們主要研究討論三類反問題的數值計算和相關分析第一章對本文所要討論的三類反問題的模

3、型及研究現狀作簡單介紹第二章主要考慮研究橢圓偏微分方程源項系數反演問題及零階項系數反演問題，即通過額外測量的邊界信息來反演上述兩種系數在整個區(qū)域的值我們首次提出了用耦合復邊界的方法進行求解其主要思想為：通過引入復平面，將Dirichlet及Neumann邊界條件耦合在一個Robin邊界條件中、從而將優(yōu)化方法中的目標泛函從解的邊界信息的適配轉化為解的虛部在整個區(qū)域上信息的適配針對源項反演問題及零階項系數反演問題，我們分析了復邊值問題的適定

4、性并通過Tikhonov正則化方法得到了相應的正則問題接著，用有限元方法對問題進行離散并做了相應的一些誤差估計最后，數值結果表明我們的新方法是可行且有效的第三章主要討論約束為障礙問題的最優(yōu)控制問題事實上，這是一類反問題，即由障礙問題解的觀測值來反演障礙函數文獻『31中把障礙問題轉化為半線性偏微分方程，從而將原問題轉化為約束為偏微分方程的最優(yōu)控制問題在此基礎上，我們通過應用敏感度分析中的方法求得了目標函數對障礙變量的一階導數最后提出用最速

5、下降法和高斯一牛頓方法進行重構第四章主要考慮壓縮傳感問題，也就是求欠定線性方程組稀疏解的問題作為一類反問題，此問題具有不適定性本文主要討論其稀疏解的重構算法針對文獻[34】中的迭代重加權算法(IRLS)及文獻f93][951中的光滑儼算法(SL0)，我們提出了兩個改進的迭代重加權最小范數解算法(IRMNS)及個光滑的孽。函數算法進行求解數值結果表明這三種算法都是快速有效的，且其恢復稀疏解的成功率較高隨后，我們將文獻[341中的IRLS算