31207.幾個(gè)反問題的數(shù)值計(jì)算和分析

1、NumeicalComputationandAnalysisforSomeInverseProblemsXuanZhengSupervisor：ProfXiaoliangChengDeptMathematicsMay，2014SubmittedintotalfulfilmentoftherequirementsfoIrthedegreeoPhDinComputationalMathematics摘要由于在生命科學(xué)、地球物理、信號(hào)／圖像處

2、理、材料科學(xué)、信息與控制等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)物理中的反問題近年來已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)與工程領(lǐng)域中一個(gè)熱門的研究方向反問題是相對(duì)于正問題而言的，從數(shù)學(xué)角度來說，它可以描述為由問題解的部分己知信息來求數(shù)學(xué)公式或方程中的某些未知信息反問題一般不適定，因?yàn)槠浣鈱?duì)輸入的測(cè)量數(shù)據(jù)十分敏感，很小的輸入數(shù)據(jù)的誤差就能導(dǎo)致解的巨大波動(dòng)因此，對(duì)反問題求解方法的研究頗具挑戰(zhàn)性本文我們主要研究討論三類反問題的數(shù)值計(jì)算和相關(guān)分析第一章對(duì)本文所要討論的三類反問題的模

3、型及研究現(xiàn)狀作簡(jiǎn)單介紹第二章主要考慮研究橢圓偏微分方程源項(xiàng)系數(shù)反演問題及零階項(xiàng)系數(shù)反演問題，即通過額外測(cè)量的邊界信息來反演上述兩種系數(shù)在整個(gè)區(qū)域的值我們首次提出了用耦合復(fù)邊界的方法進(jìn)行求解其主要思想為：通過引入復(fù)平面，將Dirichlet及Neumann邊界條件耦合在一個(gè)Robin邊界條件中、從而將優(yōu)化方法中的目標(biāo)泛函從解的邊界信息的適配轉(zhuǎn)化為解的虛部在整個(gè)區(qū)域上信息的適配針對(duì)源項(xiàng)反演問題及零階項(xiàng)系數(shù)反演問題，我們分析了復(fù)邊值問題的適定

4、性并通過Tikhonov正則化方法得到了相應(yīng)的正則問題接著，用有限元方法對(duì)問題進(jìn)行離散并做了相應(yīng)的一些誤差估計(jì)最后，數(shù)值結(jié)果表明我們的新方法是可行且有效的第三章主要討論約束為障礙問題的最優(yōu)控制問題事實(shí)上，這是一類反問題，即由障礙問題解的觀測(cè)值來反演障礙函數(shù)文獻(xiàn)『31中把障礙問題轉(zhuǎn)化為半線性偏微分方程，從而將原問題轉(zhuǎn)化為約束為偏微分方程的最優(yōu)控制問題在此基礎(chǔ)上，我們通過應(yīng)用敏感度分析中的方法求得了目標(biāo)函數(shù)對(duì)障礙變量的一階導(dǎo)數(shù)最后提出用最速

5、下降法和高斯一牛頓方法進(jìn)行重構(gòu)第四章主要考慮壓縮傳感問題，也就是求欠定線性方程組稀疏解的問題作為一類反問題，此問題具有不適定性本文主要討論其稀疏解的重構(gòu)算法針對(duì)文獻(xiàn)[34】中的迭代重加權(quán)算法(IRLS)及文獻(xiàn)f93][951中的光滑儼算法(SL0)，我們提出了兩個(gè)改進(jìn)的迭代重加權(quán)最小范數(shù)解算法(IRMNS)及個(gè)光滑的孽。函數(shù)算法進(jìn)行求解數(shù)值結(jié)果表明這三種算法都是快速有效的，且其恢復(fù)稀疏解的成功率較高隨后，我們將文獻(xiàn)[341中的IRLS算